K-теория

K-теория — математическая теория, изучающая кольца, порождённые векторными расслоениями над топологическими пространствами или схемами. В алгебраической топологии эта обобщённая теория когомологий называется топологической K-теорией. В алгебре и алгебраической геометрии соответствующий раздел называется алгебраической K-теорией. Также она играет важную роль в операторных алгебрах и её можно рассматривать как теорию определенных видов инвариантов больших матриц^[1].

K-теория предполагает построение семейств K-функторов, переводящих топологические пространства или схемы в соответствующие кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и с функторами в категорию групп, используемой в алгебраической топологии, это функториальное отображение даёт возможность легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных из подхода K-теории, включают теорему Гротендика — Римана — Роха, периодичность Ботта, теорему индекса Атьи — Зингера и операции Адамса.

В физике высоких энергий K-теория и, в частности, K-теория c кручением используется в теории струн типа II, где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны, напряжённости поля Рамонда — Рамонда, а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях.

В физике конденсированного состояния K-теория была использована для классификации топологических изоляторов, сверхпроводников и устойчивых поверхностей Ферми.

Конструкция Гротендика является необходимым компонентом для построения K-теории. Пусть ${\displaystyle (A,+')}$ — моноид. Обозначим через ${\displaystyle \sim }$ следующее отношение эквивалентности на ${\displaystyle A\times A:}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})}$

если существует ${\displaystyle c\in A,}$ такое что ${\displaystyle a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.}$ Тогда множество ${\displaystyle G(A)=A\times A/\sim }$ имеет структуру группы ${\displaystyle (G(A),+)}$, где:

${\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})]}$

Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные разности элементов в абелевом моноиде.

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелева моноида ${\displaystyle (A,+)}$. Обозначим единицу моноида как ${\displaystyle 0}$. Во-первых, ${\displaystyle (0,0)\sim (n,n)}$ для любого ${\displaystyle n\in A}$, так как мы можем положить ${\displaystyle c=0}$ и применить равенство из соотношения эквивалентности, чтобы получить ${\displaystyle n=n}$. Это означает

${\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=0}$

следовательно, у нас есть аддитивный обратный для каждого элемента в ${\displaystyle G(A)}$. Поэтому на классы эквивалентности ${\displaystyle [(a,b)]\in G(A)}$ можно смотреть как на формальные разности ${\displaystyle a-b}$. Другим полезным наблюдением является инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:

${\displaystyle (a,b)\sim (a+k,b+k)}$ для всех ${\displaystyle k\in A}$

Конструкцию Гротендика можно рассматривать как функтор ${\displaystyle G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp} }$. Он сопряжён слева по отношению к соответствующему забывающему функтору ${\displaystyle U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .}$ Другими словами, если ${\displaystyle A}$ -- абелев моноид, ${\displaystyle B}$ -- абелева группа, то каждому гомоморфизму абелевых моноидов ${\displaystyle \phi :A\to U(B)}$ можно сопоставить единственный гомоморфизм групп ${\displaystyle G(A)\to B}$.

Наглядным примером для рассмотрения является абелев моноид ${\displaystyle \mathbb {N} }$ — множество натуральных чисел. Мы можем видеть, что ${\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)}$. Для любой пары ${\displaystyle (a,b)}$ мы можем найти минимальный представитель ${\displaystyle (a',b')}$, используя инвариантность при масштабировании. Например,

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

Вообще, если мы положим ${\displaystyle k=\min\{a,b\}}$, то найдем, что

${\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}$, которое имеет форму ${\displaystyle (c,0)}$ или ${\displaystyle (0,d).}$

Это показывает, что мы можем рассматривать ${\displaystyle (a,0)}$ как положительные целые числа, а ${\displaystyle (0,b)}$ — как отрицательные целые числа.

Существует ряд основных определений K-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Пусть ${\displaystyle X}$ — компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим как ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ множество конечномерных векторных расслоений над ${\displaystyle X}$ с точностью до изоморфизма, и пусть класс изоморфизма векторного расслоения ${\displaystyle \pi :E\to X}$ обозначается ${\displaystyle [E]}$. Так как классы изоморфизма векторных расслоений ведут себя хорошо по отношению к прямым суммам, мы можем определить прямую сумму двух элементов ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ как

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

Ясно, что ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$ является абелевым моноидом, где единица задается тривиальным векторным расслоением ${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$. Тогда мы сможем применить конструкцию Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелева моноида. Эта группа называется К-теорией ${\displaystyle X}$ и обозначается ${\displaystyle K^{0}(X)}$.

Теорема Серра—Cвана^[англ.] позволяет дать альтернативное описание векторных расслоений как проективных модулей над кольцом ${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$ непрерывных комплекснозначных функций на ${\displaystyle X.}$ Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц ${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$. Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и образовать абелев моноид ${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$. Его конструкция Гротендика также называется ${\displaystyle K^{0}(X)}$.

В алгебраической геометрии та же конструкция может быть применена к алгебраическим векторным расслоениям над гладкими схемами. Также есть альтернативная конструкция для любой нётеровой схемы ${\displaystyle X}$. А именно, на множестве ${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$ классов изоморфизма когерентных пучков на ${\displaystyle X}$ можно ввести отношение эквивалентности: ${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$ если есть короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

Это дает группу ${\displaystyle K_{0}(X)}$, которая изоморфна ${\displaystyle K^{0}(X)}$, если схема ${\displaystyle X}$ гладкая. На группе ${\displaystyle K_{0}(X)}$ также есть структура кольца, определяемая как

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

Используя теорему Гротендика — Римана — Роха^[англ.], мы имеем, что

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать ${\displaystyle K_{0}(X)}$ для теории пересечений.

Можно сказать, что эта тема начинается с Александра Гротендика (1957), который использовал его для формулировки своей теоремы Гротендика — Римана — Роха. Название "K-теория" происходит от немецкого "Klasse" ("класс"). Гротендик исследовал когерентные пучки на алгебраическом многообразии "X". Вместо того, чтобы работать непосредственно с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков как образующие, с соотношением, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Получившаяся группа называется " K (X)", когда рассматриваются только локально свободные пучки, или "G (X)", когда все пучки когерентные. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика "K (X)" имеет когомологическое поведение и "G (X)" имеет гомологическое поведение.

Если " X " - гладкое многообразие, то эти две группы одинаковы. Если это гладкое аффинное многообразие, то все расширения локально свободных пучков расщепляются, таким образом, у группы есть альтернативное определение.

В топологии, применяя ту же конструкцию к векторным расслоениям, Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили "K(X)" для топологического пространства "X" в 1959 году и используя теорему о периодичности Ботта они сделали ее основой расширенной теории когомологий. Это сыграло важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи — Зингера об индексе (около 1962 года). Кроме того, этот подход привел к некоммутативной K-теории для C*-алгебр.

Уже в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал параллель между векторными расслоениями и проективными модулями для формулировки гипотезы Серра, которая утверждает, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов является свободным; это утверждение оказалось верным, но было доказано лишь 20 лет спустя. (Теорема Серра — Свана является еще одним аспектом этой аналогии.)

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Г. К. Уайтхеда и соавторов о том, что позже стало известно как кручение Уайтхеда.

Затем последовал период, в течение которого были даны различные частичные определения "высших функторов K-теории". Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Даниэлем Квилленом с использованием теории гомотопий в 1969 и 1972 гг. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения "алгебраической K-теории пространств", которая связана с изучением псевдоизотопий. Много современных исследований высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивных когомологий^[англ.].

Соответствующие конструкции, задействующие вспомогательную квадратичную форму, получили название L-теории^[англ.]. Это главный инструмент хирургии Морса.

В теории струн, классификация К-теории натяжений полей Рамонда — Рамонда и зарядов стабильных D-бран впервые была предложена в 1997 году^[2].

• Самый простой пример группы Гротендика — это группа Гротендика точки ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$ для поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$. Поскольку векторное расслоение над этим пространством является просто конечномерным векторным пространством, который является свободным объектом в категории когерентных пучков (следовательно, и проективным), моноид классов изоморфизма является ${\displaystyle \mathbb {N} }$, в соответствии с размерностью векторного пространства. Соответствующая группа Гротендика равна ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Одним из важных свойств группы Гротендика нётеровой схемы ${\displaystyle X}$ является то, что ${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$^[3]. Следовательно, группа Гротендика любой артиновой ${\displaystyle \mathbb {F} }$-алгебры равна ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Еще одной важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения:^[4] если ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ -- векторное расслоение ранга "r" над нётеровой схемой ${\displaystyle X}$, то группа Гротендика проективного расслоения ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$ -- это свободный ${\displaystyle K(X)}$ -модуль ранга "r" с базисом ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$. Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$.

Одним из полезных применений группы Гротендика является определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$, то есть короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

где ${\displaystyle C_{Y/X}}$ -- конормальный пучок ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle X}$. Если у нас есть особое пространство ${\displaystyle Y}$, вложенное в гладкое пространство ${\displaystyle X}$, мы определяем виртуальный конормальный пучок как

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

Другое полезное применение виртуальных расслоений связано с определением виртуального касательного расслоения для пересечения пространств: пусть ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$ -- проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Тогда мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения ${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$ как

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ.^[5]

Классы Чженя могут быть использованы для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его кольца рациональных когомологий. Символ Чженя "ch" линейного расслоения "L" определяется формулой

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

В более общем случае, если ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$ является прямой суммой линейных расслоений, с первыми классами Чженя ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$ характер Чженя определяется аддитивно

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

Символ Чженя полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Чженя тензорного произведения. Символ Чженя используется в формулировки теоремы Хирцебруха — Римана — Роха.

Эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраической K-теорией, связанной с категорией ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$ эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме ${\displaystyle X}$ с действием линейной алгебраической группы ${\displaystyle G}$, через Q-конструкцию Квиллена; таким образом, по определению,

${\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}$

В частности, ${\displaystyle K_{0}^{G}(C)}$ - это Гротендиковская группа ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$. Эта теория была разработана Р. У. Томасоном в 1980-х годах.^[6] В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.

• Периодичность Ботта^[англ.]
• КК-теория^[англ.]
• КР-теория^[англ.]
• Список когомологических теорий^[англ.]
• Алгебраическая К-теория^[англ.]
• Топологическая К-теория^[англ.]
• Операторная К-теория^[англ.]
• Теорема Гротендика — Римана — Роха^[англ.]

• Атья М. Лекции по K-теории. — М.: Иностранная литература, 1967. — 261 с.

• Michael Atiyah. K-theory. — 2nd. — Addison-Wesley, 1989. — (Advanced Book Classics). — ISBN 978-0-201-09394-0.
• Handbook of K-Theory / Friedlander, Eric; Grayson, Daniel. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-3-540-30436-4. — doi:10.1007/978-3-540-27855-9.
• Park, Efton. Complex Topological K-Theory. — Cambridge University Press, 2008. — Т. 111. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-85634-8.
• Swan, R. G.^[англ.]. Algebraic K-Theory. — Springer, 1968. — Т. 76. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-04245-8.
• Karoubi, Max^[англ.]. K-theory: an introduction. — Springer-Verlag, 1978. — (Classics in Mathematics). — ISBN 0-387-08090-2. — doi:10.1007/978-3-540-79890-3.
• Karoubi, Max (2006). "K-theory. An elementary introduction". arXiv:math/0602082.
• Hatcher, Allen Vector Bundles & K-Theory  (неопр.) (2003).
• Weibel, Charles^[англ.]. The K-book: an introduction to algebraic K-theory (англ.). — American Math Society, 2013. — Vol. 145. — (Grad. Studies in Math). — ISBN 978-0-8218-9132-2.

• Grothendieck-Riemann-Roch
• Max Karoubi's Page
• K-theory preprint archive