في الرياضيات ، التكاملات المثلثية (بالإنجليزية : Trigonometric integrals ) هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية . هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية .
تكامل الجيب [ عدل ] رسم بياني لتكامل الجيب Si(x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π . هناك تعريفين مختلفين لتكامل الجيب و هما:
S i ( x ) = ∫ 0 x sin t t d t {\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt} s i ( x ) = − ∫ x ∞ sin t t d t {\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt} حيث S i ( x ) {\displaystyle {\rm {Si}}(x)} هو أصل sin x / x {\displaystyle \sin x/x} و التي تكون صفراً عندما x = 0 {\displaystyle x=0} ; و s i ( x ) {\displaystyle {\rm {si}}(x)} هو أصل sin x / x {\displaystyle \sin x/x} و التي تكون صفراً عندما x = ∞ {\displaystyle x=\infty } . يكون لدينا:
s i ( x ) = S i ( x ) − π 2 {\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}} لاحظ بأن sin t t {\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}} هي دالة الجيب الجوهري (Sinc function) و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.
عندما يكون x = ∞ {\displaystyle x=\infty } , فأنه يُعرف باسم تكامل ديريكليه [الإنجليزية] .
في معالجة الإشارة ، تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض تجاوزات الحد و المصنوعات الرنينية [الإنجليزية] (Ringing artifacts) عند استعمال مرشح جيبي جوهري [الإنجليزية] (Sinc filter)، وتسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة (low-pass filter).
إن ظاهرة غيبس [الإنجليزية] (Gibbs phenomenon) هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة ، فأنها توازي النقص الحادث في متسلسلة فورييه ، مما يؤدي إلى ظاهرة غيبس.
تكامل جيب التمام [ عدل ] رسم بياني لتكامل جيب التمام Si(x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π . هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام وهي:
C i ( x ) = γ + ln x + ∫ 0 x cos t − 1 t d t {\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt} c i ( x ) = − ∫ x ∞ cos t t d t {\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt} C i n ( x ) = ∫ 0 x 1 − cos t t d t {\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt} حيث c i ( x ) {\displaystyle {\rm {ci}}(x)} هو أصل cos x / x {\displaystyle \cos x/x} و التي تكون صفراً عندما x = ∞ {\displaystyle x=\infty } . يكون لدينا:
c i ( x ) = C i ( x ) {\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,} C i n ( x ) = γ + ln x − C i ( x ) {\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,} تكامل الجيب الزائدي [ عدل ] يعرّف تكامل الجيب الزائدي كالتالي:
S h i ( x ) = ∫ 0 x sinh t t d t = s h i ( x ) . {\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).} تكامل جيب التمام الزائدي [ عدل ] يعرّف تكامل جيب التمام الزائدي كالتالي:
C h i ( x ) = γ + ln x + ∫ 0 x cosh t − 1 t d t = c h i ( x ) {\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)} حيث أن γ {\displaystyle \gamma } هو ثابتة أويلر-ماسكيروني .
لولب نيلسن [ عدل ] رسم مجسم نيلسن اللولبي في الرياضيات , لولب نيلسن (بالإنجليزية : Nielsen's spiral ), و يسمى أيضاً باللولب المتحصل عليه عن طريق مكاملة الجيب وجيب التمام (بالإنجليزية : sici spiral )، هو لولب معادلاته الوسيطية :
x = a ci t {\displaystyle x=a\,{\mbox{ci}}\,t\,} y = a si t {\displaystyle y=a\,{\mbox{si}}\,t\,} حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.
هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.
تفكيك [ عدل ] هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.
سلسلة تقاربية (لمتغير كبير) [ عدل ] S i ( x ) = π 2 − cos x x ( 1 − 2 ! x 2 + . . . ) − sin x x ( 1 x − 3 ! x 3 + . . . ) {\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)} C i ( x ) = sin x x ( 1 − 2 ! x 2 + . . . ) − cos x x ( 1 x − 3 ! x 3 + . . . ) {\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)} هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون R e ( x ) ≫ 1 {\displaystyle ~{\rm {Re}}(x)\gg 1~} .
متسلسلات التقارب [ عدل ] S i ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! ⋅ 3 + x 5 5 ! ⋅ 5 − x 7 7 ! ⋅ 7 ± ⋯ {\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots } C i ( x ) = γ + ln x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x 2 n 2 n ( 2 n ) ! = γ + ln x − x 2 2 ! ⋅ 2 + x 4 4 ! ⋅ 4 ∓ ⋯ {\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots } هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم x {\displaystyle ~x~} المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان | x | ≫ 1 {\displaystyle |x|\gg 1} يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.
تُسمى الدالة E 1 ( z ) = ∫ 1 ∞ exp ( − z t ) t d t ( R e ( z ) ≥ 0 ) {\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(z)\geq 0)} بالتكامل الأسي . لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:
E 1 ( i x ) = i ( − π 2 + S i ( x ) ) − C i ( x ) = i s i ( x ) − c i ( x ) ( x > 0 ) {\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)} بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى R e ( x ) > 0 {\displaystyle {\rm {Re}}(x)>0} . (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد π {\displaystyle \pi } في هذه العبارة الجبرية).
انظر أيضًا [ عدل ]