دالة المؤشر لكارميكائيل

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مايو 2022)

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (مايو 2022)

في نظرية الأعداد، فرعا من الرياضيات، دالة المؤشر لكارميكائيل (بالإنجليزية: Carmichael function)‏، أو اختصارا، دالة كارميكائيل هي دالة λ(n)، مدخلها عدد طبيعي n وقيمتها هي أيضا عدد صحيح طبيعي، وحيث هذه القيمة هي أصغر عدد صحيح طبيعي m يحقق المعادلة التالية:

a^m ≡ 1   (mod n)

لكل عدد صحيح a محصور بين الواحد و n، أوليٍ مع n.

سميت هذه الدالة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الأمريكي روبرت دانييل كارميكائيل.

يطرح الجدول التالي القيم الستة والثلاثين لدالتي المؤشر لأويلر من جهة وكارميكائيل من جهة ثانية

أمثلة عددية[عدل]

• قيمة دالة كارميكائيل مطبقةً على العدد 5 هي 4، أي أن λ(5) = 4، لأنه بالنسبة لكل عدد محصور بين الواحد والخمسة وفي نفس الوقت أولي مع الخمسة، يتوفر ما يلي:
  • ${\displaystyle 1<a<5}$
  • ${\displaystyle a\in \{1,2,3,4\}}$
  • ${\displaystyle a^{m}\equiv 1\,({\text{mod }}5)}$
  • ${\displaystyle m=4}$
  • 1⁴ ≡ 1 (mod 5)
  • 2⁴ = 16 ≡ 1 (mod 5)
  • 3⁴ = 81 ≡ 1 (mod 5)
  • 4⁴ = 256 ≡ 1 (mod 5)

خصائص دالة المؤشر لكارميكائيل[عدل]

أصغر قيمة[عدل]

افترض أن a^m ≡ 1 (mod n) بالنسبة لجميع الأعداد a الأولية مع n. إذن λ(n) | m.

البرهان: إذا كان m = kλ(n) + r حيث 0 ≤ r < λ(n), إذن

${\displaystyle a^{r}=1^{k}\cdot a^{r}\equiv \left(a^{\lambda (n)}\right)^{k}\cdot a^{r}=a^{k\lambda (n)+r}=a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

بالنسبة لجميع الأعداد a الأولية مع n. يأتي من ذلك r = 0, بما أن r < λ(n) وأن λ(n) هو العدد الدنوي الذي يحقق هذه الخاصية.

الاستعمال في التعمية[عدل]

دالة المؤشر لكارميكائيل هي مهمة في علم التعمية. سبب ذلك كونها مستعملة في خوارزمية آر إس إيه.

انظر أيضا[عدل]

• عدد كارميكائيل

مراجع[عدل]

• بوابة رياضيات
• بوابة نظرية الأعداد

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.