متعددات الحدود لبيرنشتاين مقتربة من منحنى. في التحليل الرياضي ، متعددة الحدود لبيرنشتاين (بالإنجليزية : Bernstein polynomial ) هي متعددة للحدود تكتب على شكل تركيبة خطية لقواعد متعدد الحودد لبيرنشتاين .[1]
سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الروسي سيرغي ناتانوفيتش بيرنشتين .
من بين الطرق اللائي يمكنن من تقييم متعددات الحدود بشكل مستقر عدديا على شكل برنشتاين ، هناك خوارزمية دوكاستلجو .
استُعملت متعددات برنشتاين لأول مرة من طرف برنشتاين ذاته في برهان إنشائي على مبرهنة ستون-فايرشتراس . مع ظهور الرسم بالحاسوب، صارت متعددات الحدود لبرنشتاين، مقصورة على المجال المحصور بين الصفر والواحد ([0،1])، مهمة جدا في شكل منحنيات بيزيه . قام بهذا العمل المهندسان الفرنسيان بيير بيزييه وبول دوكاستلجو ، أثناء عملهما في مجال صناعة السيارات خلال ستينات وسبعينات القرن العشرين.
تعريف [ عدل ] b ν , n ( x ) = ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν , ν = 0 , … , n . {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n.} حيث ( n ν ) {\displaystyle {n \choose \nu }} هو المعامل الثنائي .
أمثلة [ عدل ] b 0 , 0 ( x ) = 1 , b 0 , 1 ( x ) = 1 − x , b 1 , 1 ( x ) = x b 0 , 2 ( x ) = ( 1 − x ) 2 , b 1 , 2 ( x ) = 2 x ( 1 − x ) , b 2 , 2 ( x ) = x 2 b 0 , 3 ( x ) = ( 1 − x ) 3 , b 1 , 3 ( x ) = 3 x ( 1 − x ) 2 , b 2 , 3 ( x ) = 3 x 2 ( 1 − x ) , b 3 , 3 ( x ) = x 3 {\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}} b 2 , 5 ( x ) = ( 5 2 ) x 2 ( 1 − x ) 3 = 10 x 2 ( 1 − x ) 3 . {\displaystyle b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.}
خصائص [ عدل ] b ν , n ( x ) = 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0} , إذا توفر ν < 0 {\displaystyle \nu <0} or ν > n . {\displaystyle \nu >n.} b ν , n ( x ) ≥ 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0} عند x ∈ [ 0 , 1 ] . {\displaystyle x\in [0,\ 1].} b ν , n ( 1 − x ) = b n − ν , n ( x ) . {\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).} b ν , n ( 0 ) = δ ν , 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}} and b ν , n ( 1 ) = δ ν , n {\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}} حيث δ {\displaystyle \delta } هو دلتا كرونكر : δ i j = { 0 if i ≠ j , 1 if i = j . {\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}} الاقتراب من دالة متصلة ما [ عدل ] لتكن f دالة متصلة على المجال [0,1].
B n ( f ) ( x ) = ∑ ν = 0 n f ( ν n ) b ν , n ( x ) . {\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).} التعميم إلى أبعاد أعلى [ عدل ] انظر أيضا [ عدل ] مراجع [ عدل ]