في الرياضيات، نصف قطر التقارب (بالإنجليزية: Radius of Convergence) لمتسلسلة قوى هو نصف قطر أكبر قرص تتقارب فيه المتسلسلة، وهو إما عدد حقيقي غير سالب أو ∞.
وفقًا لمبرهنة كوشي-هادامار، تعطى نصف قطر تقارب متسلسلة من الشكل
، مع
، بواسطة العبارة التالية:[1]
إذا كان نصف قطر تقارب متسلسلة دالة هو ما لا نهاية، يمكن أن تمدد الدالة إلى دالة كاملة.
أمثلة[عدل]
من أبسط الأمثلة هو نصف قطر تقارب متسلسلة القوى للدالة الأسية:
نحسب نصف قطر التقارب:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{(n+1)!}}\right|\div \left|{\frac {1}{n!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)n!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{n+1}}\right|\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be55f0a3f3c63216cb088bbb4228691adc3942c)
إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو
.
- نعتبر متسلسلة ماكلورين للدالة
:
![{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1fea10e1ccbd6e69de9a38c8bac4fb0b6fff6e4)
نحسب نصف قطر تقاربه:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\div \left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\times \left|{\frac {n}{(-1)^{n-1}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\times \left|{\frac {-n}{(-1)^{n}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {-n}{n+1}}\right|\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5deb0a08337a4162e703580cd1d12e0f9e1ce4)
إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو
.
مراجع[عدل]