Ураўненні Максвела

Электрадынаміка

Электрычнасць · Магнетызм Электрастатыка Закон Кулона Тэарэма Гауса Электрычны дыпольны момант Электрычны зарад Электрычная індукцыя Электрычнае поле Электрастатычны патэнцыял Магнітастатыка Закон Біё — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнітны момант Магнітнае поле Магнітны паток Электрадынаміка Вектарны патэнцыял Электрычны дыполь Патэнцыялы Ліенара — Віхерта Сіла Лорэнца Ток зрушэння Уніпалярная індукцыя Ураўненні Максвела Электрычны ток Электрарухальная сіла Электрамагнітная індукцыя Электрамагнітнае выпраменьванне Электрамагнітнае поле Электрычны ланцуг Закон Ома Правілы Кірхгофа Індуктыўнасць Радыёхвалявод Рэзанатар Электрычная ёмістасць Электрычная праводнасць Электрычнае супраціўленне Электрычны імпеданс Каварыянтная фармулёўка Тэнзар электрамагнітнага поля Тэнзар энергіі-імпульсу 4-патэнцыял 4-ток Вядомыя вучоныя Генры Кавендыш Майкл Фарадэй Андрэ Мары Ампер Густаў Роберт Кірхгоф Джэймс Клерк Максвел Генрых Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсан Роберт Эндрус Мілікен

глядзець размовы правіць

Ураўне́нні Ма́ксвела — сістэма ўраўненняў у дыферэнцыяльнай або інтэгральнай форме, якія апісваюць электрамагнітнае поле і яго сувязь з электрычнымі зарадамі і токамі ў вакууме і суцэльных асяроддзях. Разам з выразам для сілы Лорэнца, што задае меру ўздзеяння электрамагнітнага поля на зараджаныя часціцы, ураўненні Максвела ўтвараюць поўную сістэму ўраўненняў класічнай электрадынамікі, якую часам называюць ураўненнямі Максвела — Лорэнца. Ураўненні, сфармуляваныя Джэймсам Клеркам Максвелам на аснове назапашаных к сярэдзіне XIX стагоддзя эксперыментальных вынікаў, адыгралі ключавую ролю ў развіцці ўяўленняў тэарэтычнай фізікі і аказалі моцны, у некаторых выпадках вырашальны, уплыў не толькі на ўсе вобласці фізікі, непасрэдна звязаныя з электрамагнетызмам, але і на многія пазнейшыя фундаментальныя тэорыі, прадмет якіх не зводзіўся да электрамагнетызму (адным з самых яскравых прыкладаў тут можа служыць спецыяльная тэорыя адноснасці).

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненні, сфармуляваныя Джэймсам Клеркам Максвелам, узніклі на аснове шэрага важных эксперыментальных адкрыццяў пачатку XIX стагоддзя. У 1820 годзе Ганс Хрысціян Эрстэд выявіў^[1], што гальванічны ток, які прапускаецца праз провад, прымушае адхіляцца магнітную стрэлку компаса. Гэта адкрыццё прыцягнула шырокую ўвагу навукоўцаў таго часу. У тым жа 1820 Біё і Савар эксперыментальна знайшлі выраз^[2] для спароджанай токам магнітнай індукцыі (закон Біё — Савара), і Андрэ Мары Ампер выявіў, што ўзаемадзеянне на адлегласці ўзнікае таксама паміж двума праваднікамі, па якіх прапускаецца ток. Ампер ўвёў тэрмін «электрадынамічны» і выказаў гіпотэзу, што прыродны магнетызм звязаны з існаваннем у магнітах кругавых токаў^[3].

Уплыў току на магніт, выяўлены Эрстэдам, прывёў Майкла Фарадэя да ідэі аб тым, што павінен існаваць і адваротны ўплыў магніта на токі. Пасля працяглых эксперыментаў, ў 1831 годзе, Фарадэй адкрыў, што магніт, які перамяшчаецца каля правадніка, спараджае ў правадніку электрычны ток. Гэта з’ява была названа электрамагнітнай індукцыяй. Фарадэй увёў паняцце «поля сіл» — пэўнага асяроддзя, якое знаходзіцца паміж зарадамі і токамі. Яго разважанні насілі якасны характар, але яны аказалі вялікі ўплыў на даследаванні Максвела.

Пасля адкрыццяў Фарадэя стала ясна, што старыя мадэлі электрамагнетызму (Ампера, Пуасона і інш.) няпоўныя. Неўзабаве з’явілася тэорыя Вебера, заснаваная на дальнадзеянні. Аднак на той момант уся фізіка, акрамя тэорыі прыцягнення, мела справу толькі з блізкадзеючымі сіламі (оптыка, тэрмадынаміка, механіка суцэльных асяроддзяў і інш.). Гаус, Рыман і шэраг іншых навукоўцаў выказвалі здагадкі, што святло мае электрамагнітную прыроду, так што тэорыя электрамагнітных з’яў таксама павінна быць блізкадзеючай. Гэты прынцып стаў істотнай асаблівасцю тэорыі Максвела.

У сваім знакамітым «Трактаце аб электрычнасці і магнетызме» (1873) Максвел пісаў^[4]:

Прыступаючы да вывучэння працы Фарадэя, я выявіў, што яго метад разумення з’яў таксама быў матэматычным, хоць і не прадстаўленым у форме звычайных матэматычных знакаў. Я таксама знайшоў, што гэты метад можна выказаць у звычайнай матэматычнай форме і такім чынам параўнаць з метадамі прафесійных матэматыкаў.

Замяняючы фарадэеўскі тэрмін «поле сіл» на паняцце «напружанасць поля», Максвел зрабіў яго ключавым аб’ектам сваёй тэорыі^[5]:

Калі мы прымем гэта асяроддзе ў якасці гіпотэзы, я лічу, што яно павінна займаць выдатнае месца ў нашых даследаваннях, і што нам варта было б паспрабаваць сканструяваць рацыянальнае ўяўленне аб ўсіх дэталях яго дзеяння, што і было маёй пастаяннай мэтай у гэтым трактаце.

Падобная электрадынамічнае асяроддзе стала абсалютна новым паняццем для ньютанаўскай фізікі. Апошняя вывучала ўзаемадзеянне паміж сабой матэрыяльных цел. Максвел жа запісаў ураўненні, якім павінна падпарадкоўвацца асяроддзе, якое вызначае ўзаемадзеянне зарадаў і токаў і існуе нават у іх адсутнасць.

Аналізуючы вядомыя эксперыменты, Максвел атрымаў сістэму ўраўненняў для электрычнага і магнітнага палёў. У 1855 годзе ў сваім самым першым артыкуле «Аб фарадэевых сілавых лініях»^[6] («On Faraday’s Lines of Force»^[7]) ён упершыню запісаў у дыферэнцыяльнай форме сістэму ўраўненняў электрадынамікі, але не ўводзячы яшчэ ток зрушэння. Такая сістэма ўраўненняў апісвала ўсе вядомыя на той час эксперыментальныя дадзеныя, але не дазваляла звязаць паміж сабой зарады і токі і прадказаць электрамагнітныя хвалі^[8]. Упершыню ток зрушэння быў ​​уведзены Максвелам у працы «Аб фізічных сілавых лініях»^[9] («On Physical Lines of Force»^[10]), якая складаецца з чатырох частак і была апублікавана ў 1861—1862 гадах. Абагульняючы закон Ампера, Максвел ўводзіць ток зрушэння, імаверна, каб звязаць токі і зарады ўраўненнем непарыўнасці, якое ўжо было вядома для іншых фізічных велічынь^[8]. Такім чынам, у гэтым артыкуле фактычна была завершана фармулёўка поўнай сістэмы ўраўненняў электрадынамікі. У артыкуле 1864 «Дынамічная тэорыя электрамагнітнага поля»^[11] («A dynamical theory of the electromagnetic field»^[12]) разгледжана сфармуляваная раней сістэма ўраўненняў з 20 скалярных ураўненняў для 20 скалярных невядомых. У гэтым артыкуле Максвел ўпершыню сфармуляваў паняцце электрамагнітнага поля як фізічнай рэальнасці, якая мае ўласную энергію і канечны час распаўсюджвання, які і вызначае з’яву запазнення ​​электрамагнітнага ўзаемадзеяння^[8].

Аказалася, што не толькі ток, але электрычнае поле, якое змяняецца з часам, (ток зрушэння) спараджае магнітнае поле. У сваю чаргу, згодна з законам Фарадэя, пераменнае магнітнае поле зноў спараджае электрычнае. У выніку, у пустой прасторы можа распаўсюджвацца электрамагнітная хваля. З ураўненняў Максвела вынікала, што яе хуткасць роўная хуткасці святла, таму Максвел зрабіў выснову аб электрамагнітнай прыродзе святла.

Частка фізікаў выступіла супраць тэорыі Максвела (асабліва шмат пярэчанняў выклікала канцэпцыя току зрушэння). Гельмгольц прапанаваў сваю тэорыю, кампрамісную ў адносінах да мадэлей Вебера і Максвела, і даручыў свайму вучню Генрыху Герцу правесці яе эксперыментальную праверку. Аднак вопыты Герца адназначна пацвердзілі слушнасць тэорыі Максвел

Максвел не ўжываў вектарных абазначэнняў і запісваў свае ўраўненні ў досыць грувасткім кампанентным выглядзе. У сваім трактаце ^[13] ён, акрамя таго, часткова выкарыстаў кватэрніённую фармулёўку. Сучасная форма ўраўненняў Максвела з’явілася каля 1884 пасля работ Хэвісайда, Герца і Гібса. Яны не толькі перапісалі сістэму Максвела ў вектарным выглядзе, але і сіметрызавалі яе, перафармуляваўшы ў тэрмінах поля і пазбавіўшыся ад электрычнага і магнітнага патэнцыялаў, істотных у тэорыі Максвела, бо лічылі, што гэтыя функцыі з’яўляюцца толькі непатрэбнымі дапаможнымі матэматычнымі абстракцыямі^[14]. Цікава, што сучасная фізіка падтрымлівае Максвела, але не падзяляе негатыўнае стаўленне яго ранніх паслядоўнікаў да патэнцыялаў. Электрамагнітны патэнцыял выконвае важную ролю ў квантавай фізіцы і праяўляецца як фізічна вымяраемая велічыня ў некаторых эксперыментах, напрыклад, у эфекце Ааронава — Бома^[15].

Сістэма ўраўнанняў у фармулёўцы Герца і Хэвісайда некаторы час называлася ўраўненнямі Герца — Хэвісайда^[16]. Эйнштэйн у класічным артыкуле «Да электрадынамікі цел у руху» ^[17] назваў іх ураўненнямі Максвела — Герца. Часам у літаратуры сустракаецца таксама назва ўраўненні Максвела — Хэвісайда^[18].

Ураўненні Максвела адыгралі важную ролю пры ўзнікненні спецыяльнай тэорыі адноснасці (СТА). Джозэф Лармор (1900)^[19] і незалежна ад яго Хендрык Лорэнц (1904 год)^[20] знайшлі пераўтварэнні каардынат, часу і электрамагнітных палёў, якія пакідаюць ўраўненні Максвелла інварыянтнымі пры пераходзе ад адной інерцыяльнай сістэмы адліку да іншай. Гэтыя пераўтварэнні адрозніваліся ад пераўтварэнняў Галілея класічнай механікі і, з падачы Анры Пуанкарэ^[21], сталі называцца пераўтварэннямі Лорэнца. Яны сталі матэматычным падмуркам спецыяльнай тэорыі адноснасці.

Распаўсюджванне электрамагнітных хваль з хуткасцю святла першапачаткова тлумачылася як ўзбурэнне (хваляванне) некаторага асяроддзя, так званага эфіру^[22]. Рабіліся шматлікія спробы выявіць рух Зямлі адносна эфіру, аднак яны нязменна давалі адмоўны вынік^{[заўв 1]}. Таму Анры Пуанкарэ выказаў гіпотэзу аб прынцыповай немагчымасці выявіць падобны рух (прынцып адноснасці). Яму ж належыць пастулат аб незалежнасці хуткасці святла ад хуткасці яго крыніцы і вывад (разам з Лорэнцам), зыходзячы са сфармуляванага так прынцыпу адноснасці, дакладнага выгляду пераўтварэнняў Лорэнца (пры гэтым былі паказаны і групавыя ўласцівасці гэтых пераўтварэнняў). Гэтыя дзве гіпотэзы (пастулаты) ляглі і ў аснову артыкула Альберта Эйнштэйна (1905 год)^[17]. З іх дапамогай ён таксама вывеў пераўтварэнні Лорэнца і зацвердзіў іх агульнафізічны сэнс, асабліва падкрэсліўшы магчымасць іх прымянення для пераходу з любой інерцыяльных сістэм адліку ў любую іншую інерцыяльную. Гэта праца фактычна адзначыла сабой пабудову спецыяльнай тэорыі адноснасці. У СТА пераўтварэнні Лорэнца адлюстроўваюць агульныя ўласцівасці прасторы і часу, а мадэль эфіру аказваецца непатрэбнай. Электрамагнітныя палі з’яўляюцца самастойнымі аб’ектамі, існуючымі нароўні з матэрыяльнымі часціцамі.

Класічная электрадынаміка, заснаваная на ўраўненнях Максвелла, ляжыць у аснове шматлікіх прыкладанняў электра- і радыётэхнікі, ЗВЧ і оптыкі. На сённяшні дзень не выяўлена ні аднаго эфекту, які патрабаваў бы перайначвання ўраўненняў. Яны аказваюцца дастасавальнымі і ў квантавай механіцы, калі разглядаецца рух, напрыклад, зараджаных часціц ў знешніх электрамагнітных палях. Таму ўраўненні Максвелла з’яўляюцца асновай мікраскапічнага апісання электрамагнітных уласцівасцей рэчыва.

Ураўненні Максвелла запатрабаваныя таксама ў астрафізіцы і касмалогіі, бо многія планеты і зоркі маюць магнітнае поле. Магнітнае поле вызначае, у прыватнасці, ўласцівасці такіх аб’ектаў, як пульсары і квазары.

На сучасным узроўні разумення ўсё фундаментальныя часціцы з’яўляюцца квантавымі ўзбуджэннямі («квантамі») розных палёў. Напрыклад, фатон — гэта квант электрамагнітнага поля, а электрон — квант спінарнага поля^[23]. Таму палявы падыход, прапанаваны Фарадэем і істотна развіты Максвелам, з’яўляецца асновай сучаснай фізікі фундаментальных часціц, у тым ліку яе стандартнай мадэлі.

Гістарычна трохі раней ён адыграў важную ролю ў з’яўленні квантавай механікі ў фармулёўцы Шродзінгера і наогул адкрыцці квантавых ураўненняў, якія апісваюць рух часціц, у тым ліку і рэлятывісцкіх (ураўненне Клейна — Гордана, ураўненне Дзірака), хоць першапачаткова аналогія з ураўненнямі Максвела тут бачылася хутчэй толькі ў агульнай ідэі, тады як пасля аказалася, што яе можна разумець як больш канкрэтную і дэталёвую (як гэта апісана вышэй).

Таксама палявы падыход, які у цэлым узыходзіць да Фарадэя і Максвела, стаў цэнтральным ў тэорыі гравітацыі (у тым ліку ў АТА).

Запіс ураўненняў Максвела і сістэмы адзінак[правіць | правіць зыходнік]

Запіс большасці ўраўненняў у фізіцы не залежыць ад выбару сістэмы адзінак. Аднак у электрадынаміцы гэта не так. У залежнасці ад выбару сістэмы адзінак ва ўраўненнях Максвела ўзнікаюць розныя каэфіцыенты (канстанты). Міжнародная сістэма адзінак (СІ) з’яўляецца стандартам у тэхніцы і выкладанні, аднак спрэчкі сярод фізікаў аб яе перавагах і недахопах у параўнанні з сіметрычнай гаусавай сістэмай адзінак (СГС) не сціхаюць^[24]. Перавага сістэмы СГС ў электрадынаміцы заключаецца ў тым, што ўсе палі ў ёй маюць адну размернасць, а ўраўненні, на думку многіх навукоўцаў, запісваюцца прасцей і натуральней^[25]. Таму СГС працягвае прымяняцца ў навуковых публікацыях па электрадынаміцы і ў выкладанні тэарэтычнай фізікі, напрыклад, у курсе тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца. Але для ўжывання на практыцы многія прынятыя ў СГС адзінкі вымярэння нязручныя, бо ці не маюць назвы, як безразмерныя, ці вызначаны неадназначна і адрозніваюцца ў розных пашырэннях сістэмы СГС. Сістэма ж СІ стандартызавана і лепш самаўзгоднена, на гэтай сістэме пабудавана ўся сучасная метралогія^[26]. Акрамя таго, сістэма СІ звычайна выкарыстоўваецца ў курсах агульнай фізікі. У сувязі з гэтым усе суадносіны, калі яны па-рознаму запісваюцца ў сістэмах СІ і СГС, далей прыводзяцца ў двух варыянтах.

Часам (напрыклад, у «Фейнманаўскіх лекцыях па фізіцы», а таксама ў сучаснай квантавай тэорыі поля) ужываецца сістэма адзінак, у якой хуткасць святла, электрычная і магнітная пастаянная прымаюцца за адзінку (${\displaystyle c=\varepsilon _{0}=\mu _{0}=1}$). У такой сістэме ўраўненні Максвела запісваюцца наогул без каэфіцыентаў, усе палі маюць аднолькавую размернасць, а ўсе патэнцыялы — сваю аднолькавую. Такая сістэма асабліва зручная ў каварыянтнай чатырохмернай фармулёўцы законаў электрадынамікі праз 4-патэнцыял і 4-тэнзар электрамагнітнага поля.

Дыферэнцыяльная форма[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненні Максвела прадстаўляюць сабой у вектарным запісе сістэму з чатырох ураўненняў, якая зводзіцца ў кампанентным прадстаўленні да васьмі (два вектарныя ураўненні ўтрымліваюць па тры кампаненты кожнае, плюс два скалярныя^{[заўв 2]}) лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў ў частковых вытворных першага парадку для 12 кампанент чатырох вектарных функцый (${\displaystyle \mathbf {D} ,\;\mathbf {E} ,\;\mathbf {H} ,\;\mathbf {B} }$):

Тоўстым шрыфтам у далейшым абазначаюцца вектарныя велічыні, курсівам — скалярныя.

Уведзеныя абазначэнні:

• ${\displaystyle \rho \ }$ — шчыльнасць старонняга электрычнага зараду (у адзінках СІ — Кл/м³);
• ${\displaystyle \mathbf {j} }$ — шчыльнасць электрычнага току (шчыльнасць току праводнасці) (у адзінках СІ — А/м²); у найпрасцейшым выпадку — калі ток спараджаецца адным тыпам носьбітаў зараду, яна выражаецца проста як ${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {u} \rho _{1}}$, дзе ${\displaystyle \mathbf {u} }$ — (сярэдняя) хуткасць руху гэтых носьбітаў у наваколлі дадзенага пункта, ${\displaystyle \rho _{1}}$ — шчыльнасць зараду гэтага тыпу носьбітаў (яна ў агульным выпадку не супадае з ${\displaystyle \rho }$)^{[заўв 4]}; у агульным выпадку гэта выраз трэба усярэдніць па розных тыпах носьбітаў;
• ${\displaystyle c\,}$ — хуткасць святла ў вакууме (299792458 м/с);
• ${\displaystyle \mathbf {E} }$ — напружанасць электрычнага поля (у адзінках СІ — В/м);
• ${\displaystyle \mathbf {H} }$ — напружанасць магнітнага поля (у адзінках СІ — А/м);
• ${\displaystyle \mathbf {D} }$ — электрычная індукцыя (у адзінках СІ — Кл/м²);
• ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — магнітная індукцыя (у адзінках СІ — Тл = Вб/м² = кг•с⁻²•А⁻¹);
• ${\displaystyle \nabla }$ — дыферэнцыяльны аператар набла, які ў дэкартавых каардынатах (x, y, z) мае выгляд:

${\displaystyle \nabla :=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

пры гэтым:

• ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E} }$ азначае ротар вектара,
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E} }$ азначае дывергенцыю вектара.

Прыведзеныя вышэй ураўненні Максвела не ўтвараюць яшчэ поўнай сістэмы ўраўненняў электрамагнітнага поля, бо яны не ўтрымліваюць уласцівасцей асяроддзя, у яком узбуджана электрамагнітнае поле. Суадносіны, якія звязваюць велічыні ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$, ${\displaystyle \mathbf {D} }$, ${\displaystyle \mathbf {H} }$ і ${\displaystyle \mathbf {j} }$ і ўлічваюць індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя, называюцца матэрыяльнымі ўраўненнямі.

Інтэгральная форма[правіць | правіць зыходнік]

Пры дапамозе формул Астраградскага — Гауса і Стокса дыферэнцыяльным ураўненням Максвела можна надаць форму інтэгральных ураўненняў:

Назва	СГС	СІ	Прыкладнае апісанне словамі
Закон Гауса	${\displaystyle \oint _{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q}$	${\displaystyle \oint _{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =Q}$	Паток электрычнай індукцыі праз замкнёную паверхню ${\displaystyle s}$ прапарцыянальны велічыні свабоднага зараду, які знаходзіцца ў акружаным паверхняю ${\displaystyle s}$ аб’ёме ${\displaystyle v.}$
Закон Гауса для магнітнага поля	${\displaystyle \oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0}$	${\displaystyle \oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0}$	Паток магнітнай індукцыі праз замкнёную паверхню роўны нулю (магнітныя зарады не існуюць).
Закон індукцыі Фарадэя	${\displaystyle \oint _{l}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} }$	${\displaystyle \oint _{l}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =}$ ${\displaystyle -{\frac {d}{dt}}\int _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} }$	Змяненне патоку магнітнай індукцыі праз незамкнёную паверхню ${\displaystyle s,}$ узятае з адваротным знакам, прапарцыянальнае цыркуляцыі электрычнага поля на замкнёным контуры ${\displaystyle l}$, які з’яўляецца мяжой паверхні ${\displaystyle s}$.
Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля	${\displaystyle \oint _{l}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =}$ ${\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int _{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} }$	${\displaystyle \oint _{l}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =}$ ${\displaystyle I+{\frac {d}{dt}}\int _{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} }$	Поўны электрычны ток свабодных зарадаў і змяненне патоку электрычнай індукцыі праз незамкнёную паверхню ${\displaystyle s,}$ узятыя ў суме, прапарцыянальныя цыркуляцыі магнітнага поля на замкнёным контуры ${\displaystyle l}$, які з’яўляецца мяжой паверхні ${\displaystyle s}$.

Уведзеныя абазначэнні:

• ${\displaystyle s\ }$ — двухмерная замкнёная ў выпадку тэарэмы Гауса паверхня, якая абмяжоўвае аб’ём ${\displaystyle v\ }$, і адкрытая паверхня ў выпадку законаў Фарадэя і Ампера — Максвелла (яе мяжой з’яўляецца замкнёны контур ${\displaystyle l\ }$).
• ${\displaystyle Q=\int _{v}\rho \,dv\ }$ — электрычны зарад, заключаны ў абмежаваным паверхняй ${\displaystyle s\ }$ аб’ёме ${\displaystyle v\ }$ (у адзінках СІ — Кл);
• ${\displaystyle I=\int _{s}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \ }$ — электрычны ток, які праходзіць праз паверхню ${\displaystyle s\ }$ (у адзінках СІ — А).

Пры інтэграванні па замкнёнай паверхні вектар элемента плошчы ${\displaystyle d\mathbf {s} }$ накіраваны з аб’ёму вонкі. Арыентацыя ${\displaystyle d\mathbf {s} }$ пры інтэграванні па незамкнутай паверхні вызначаецца напрамкам правага вінта, які «ўкручваецца» пры павароце ў кірунку абыходу контурнага інтэграла па ${\displaystyle d\mathbf {l} }$.

Апісанне законаў Максвела словамі, напрыклад, закона Фарадэя, нясе адбітак традыцыі, бо спачатку пры кантралюемым змяненні магнітнага патоку рэгістравалася ўзнікненне электрычнага поля (дакладней электрарухальнай сілы). У агульным выпадку ва ўраўненнях Максвела (як у дыферэнцыяльнай, так і ў інтэгральнай форме) вектарныя функцыі ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H} }$ з’яўляюцца раўнапраўнымі невядомымі велічынямі, якія вызначаюцца ў выніку рашэння ўраўненняў.

Сіла Лорэнца[правіць | правіць зыходнік]

Пры рашэнні ўраўненняў Максвела размеркаванні зарадаў ${\displaystyle \rho \,}$ і токаў ${\displaystyle \mathbf {j} }$ часта лічацца зададзенымі. З улікам межавых умоў і матэрыяльных ураўненняў гэта дазваляе вызначыць напружанасць электрычнага поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$ і магнітную індукцыю ${\displaystyle \mathbf {B} }$, якія, у сваю чаргу, вызначаюць сілу, якая дзейнічае на пробны зарад ${\displaystyle q\,}$, што рухаецца з хуткасцю ${\displaystyle \mathbf {u} }$. Гэтая сіла называецца сілай Лорэнца:

Электрычны складнік сілы накіраваны па электрычнаму полю (калі ${\displaystyle q>0\,}$), а магнітны — перпендыкулярны хуткасці зарада і магнітнай індукцыі. Упершыню выраз для сілы, якая дзейнічае на зарад у магнітным полі (электрычная кампанента была вядомая), атрымаў ў 1889 годзе Хэвісайд^[27][28] за тры гады да Хендрыка Лорэнца, які вывеў выраз для гэтай сілы ў 1892 годзе.

У больш складаных сітуацыях у класічнай і квантавай фізіцы ў выпадку, калі пад дзеяннем электрамагнітных палёў свабодныя зарады перамяшчаюцца і змяняюць значэнні палёў, неабходна рашэнне самаўзгодненай сістэмы з ураўненняў Максвелла і ўраўненняў руху, якія ўключаюць сілы Лорэнца. Атрыманне дакладнага аналітычнага рашэння такой поўнай сістэмы звычайна спалучана з вялікімі цяжкасцямі.

Размерныя канстанты ва ўраўненнях Максвела[правіць | правіць зыходнік]

У гаусавай сістэме адзінак СГС усе палі маюць аднолькавую размернасць, і ва ўраўненнях Максвела фігуруе адзіная фундаментальная канстанта ${\displaystyle c\,}$, якая мае размернасць хуткасці і цяпер называецца хуткасцю святла (іменна роўнасць гэтай канстанты хуткасці распаўсюджвання святла дала Максвелу падставы для гіпотэзы аб электрамагнітнай прыродзе святла^[29]).

У сістэме адзінак СІ, каб звязаць электрычную індукцыю і напружанасць электрычнага поля ў вакууме, уводзіцца электрычная пастаянная ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} .}$

Магнітная пастаянная ${\displaystyle \mu _{0}\,}$ з’яўляецца такім жа каэфіцыентам прапарцыянальнасці для магнітнага поля ў вакууме:

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} }$ Назвы электрычная пастаянная і магнітная пастаянная зараз стандартызаваныя^[30]. Раней для гэтых велічынь таксама выкарыстоўваліся, адпаведна, назвы дыэлектрычная і магнітная пранікальнасці вакууму.

Хуткасць электрамагнітнага выпраменьвання ў вакууме (хуткасць святла) у СІ ўзнікае пры вывадзе хвалевага ўраўнення:

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.}$

У сістэме адзінак СІ, у якасці дакладных размерных канстант вызначаны хуткасць святла ў вакууме ${\displaystyle c\ }$ і магнітная пастаянная ${\displaystyle \mu _{0}\ }$. Праз іх выражаецца электрычная пастаянная ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$.

Прынятыя значэнні^[31] хуткасці святла, электрычнай і магнітнай пастаянных прыведзены ў табліцы:

Часам ўводзіцца велічыня, так званае «хвалевае супраціўленне», або «імпеданс» вакууму:

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=\mu _{0}c=119,916\;983\;2\;\pi \approx 376,730\;313\;461\;77\approx 120\pi }$ Ом.

Прыбліжанае значэнне для ${\displaystyle Z_{0}\ }$ атрымліваецца, калі для хуткасці святла прыняць значэнне ${\displaystyle c=3\cdot 10^{8}}$ м/c. У сістэме СГС ${\displaystyle Z_{0}=1\ }$. Гэта велічыня мае сэнс адносіны амплітуд напружанасцей электрычнага і магнітнага палёў плоскай электрамагнітнай хвалі ў вакууме.

Ураўненні Максвела ў асяроддзі[правіць | правіць зыходнік]

Каб атрымаць поўную сістэму ўраўненняў электрадынамікі, да сістэмы ўраўненняў Максвела неабходна дадаць матэрыяльныя ўраўненні, якія звязваюць велічыні ${\displaystyle \mathbf {j} }$, ${\displaystyle \mathbf {H} }$, ${\displaystyle \mathbf {D} }$, ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$, у якіх улічаныя індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя. Спосаб атрымання матэрыяльных ураўненняў даюць малекулярныя тэорыі палярызацыі, намагнічанасць і электраправоднасці асяроддзя, якія выкарыстоўваюць ідэалізаваныя мадэлі асяроддзя. Прымяняючы да іх ураўненні класічнай або квантавай механікі, а таксама метады статыстычнай фізікі, можна ўстанавіць сувязь паміж вектарамі ${\displaystyle \mathbf {j} }$, ${\displaystyle \mathbf {H} }$, ${\displaystyle \mathbf {D} }$ з аднаго боку і ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ з іншага боку.

Звязаныя зарады і токі[правіць | правіць зыходнік]

Пры прыкладанні электрычнага поля да дыэлектрычнага матэрыялу кожная з яго малекул ператвараецца ў мікраскапічны дыполь. Пры гэтым дадатныя ядры атамаў трохі ссоўваюцца ў кірунку поля, а электронныя абалонкі ў процілеглым кірунку. Акрамя гэтага, малекулы некаторых рэчываў першапачаткова маюць дыпольны момант. Дыпольныя малекулы імкнуцца арыентавацца ў кірунку поля. Гэты эфект завецца палярызацыяй дыэлектрыкаў. Такое зрушэнне звязаных зарадаў малекул ў аб’ёме эквівалентнае з’яўленню некаторага размеркавання зарадаў на паверхні, хоць усе малекулы, уцягнутыя ў працэс палярызацыі застаюцца нейтральнымі (гл. малюнак).

Падобным чынам адбываецца і магнітная палярызацыя (намагнічванне) у матэрыялах, у якіх атамы і малекулы маюць магнітныя моманты, звязаныя са спінам і арбітальным момантам ядраў і электронаў. Вуглавыя моманты атамаў можна прадставіць у выглядзе цыркулярных токаў. На мяжы матэрыялу сукупнасць такіх мікраскапічных токаў эквівалентная макраскапічным токам, якія цыркулююць ўздоўж паверхні, нягледзячы на тое, што рух зарадаў ў асобных магнітных дыполях адбываецца толькі ў мікрамаштабе (звязаныя токі).

Разгледжаныя мадэлі паказваюць, што хоць вонкавае электрамагнітнае поле дзейнічае на асобныя атамы і малекулы, яго паводзіны ў многіх выпадках можна разглядаць спрошчана ў макраскапічным маштабе, ігнаруючы дэталі мікраскапічнай карціны.

У асяроддзі вонкавыя электрычныя і магнітныя палі выклікаюць палярызацыю і намагнічванне рэчыва, якія макраскапічна апісваюцца адпаведна вектарам палярызацыі ${\displaystyle \mathbf {P} }$ і вектарам намагнічанасці ${\displaystyle \mathbf {M} }$ рэчыва, а на мікраўзроўні абумоўлены з’яўленнем звязаных зарадаў ${\displaystyle \rho _{b}\ }$ і токаў ${\displaystyle \mathbf {j} _{b}}$. У выніку поле ў асяроддзі аказваецца сумай знешніх палёў і палёў, выкліканых звязанымі зарадамі і токамі.

Палярызацыя ${\displaystyle \mathbf {P} }$ і намагнічанасць рэчыва ${\displaystyle \mathbf {M} }$ звязаны з вектарамі напружанасці і індукцыі электрычнага і магнітнага поля наступнымі суадносінамі:

Таму, выражаючы вектары ${\displaystyle \mathbf {D} }$ і ${\displaystyle \mathbf {H} }$ праз ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$, ${\displaystyle \rho _{b}\ }$ і ${\displaystyle \mathbf {j} _{b}}$, можна атрымаць матэматычна эквівалентную сістэму ўраўненняў Максвела:

Індэксам ${\displaystyle f\ }$ тут пазначаны свабодныя зарады і токі. Ураўненні Максвела ў такой форме з’яўляюцца фундаментальнымі, у тым сэнсе, што яны не залежаць ад мадэлі электрамагнітнай будовы рэчыва. Падзел зарадаў і токаў на свабодныя і звязаныя дазваляе «схаваць» у ${\displaystyle \rho _{b}\ }$, ${\displaystyle \mathbf {j} _{b}}$, а затым у ${\displaystyle \mathbf {P} ,\mathbf {M} }$ і, такім чынам, у ${\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {B} }$ складаны мікраскапічны характар ​​электрамагнітнага поля ў асяроддзі.

Матэрыяльныя ўраўненні[правіць | правіць зыходнік]

Матэрыяльныя ўраўненні ўстанаўліваюць сувязь паміж ${\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {H} }$ і ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }$. Пры гэтым улічваюцца індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя. На практыцы ў матэрыяльных ураўненнях звычайна выкарыстоўваюцца эксперыментальна вызначаныя каэфіцыенты (залежныя ў агульным выпадку ад частаты электрамагнітнага поля), якія сабраны ў розных даведніках фізічных велічынь^[32].

• У слабых электрамагнітных палях, якія параўнальна павольна змяняюцца ў прасторы і ў часе, у выпадку ізатропных, неферамагнітных і несегнетаэлектрычных асяроддзяў справядліва прыбліжэнне, у якім палярызавальнасць і намагнічанасць лінейна залежаць ад прыкладзеных палёў:

дзе ўведзеныя безразмерныя канстанты: ${\displaystyle \chi _{e}\ }$ — дыэлектрычная ўспрымальнасць і ${\displaystyle \chi _{m}\ }$ — магнітная ўспрымальнасць рэчыва (у сістэме адзінак СІ гэтыя канстанты ў ${\displaystyle 4\pi \ }$ разоў большыя, чым у гаусавай сістэме СГС). Адпаведна, матэрыяльныя ўраўненні для электрычнай і магнітнай індукцыі запісваюцца ў наступным выглядзе:

дзе ${\displaystyle \varepsilon \ }$ — адносная дыэлектрычная пранікальнасць, ${\displaystyle \mu \ }$ — адносная магнітная пранікальнасць. Размерныя велічыні ${\displaystyle \varepsilon _{0}\varepsilon }$ (у адзінках СІ — Ф/м) і ${\displaystyle \mu _{0}\mu }$ (у адзінках СІ — Гн/м), якія ўзнікаюць у сістэме СІ, называюцца абсалютная дыэлектрычная пранікальнасць і абсалютная магнітная пранікальнасць адпаведна.

• У правадніках існуе сувязь паміж шчыльнасцю току і напружанасцю электрычнага поля, якая у добрым прыбліжэнні выражаецца законам Ома:

${\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} ,}$

дзе ${\displaystyle \sigma }$ — удзельная праводнасць асяроддзя (у адзінках СІ — Ом⁻¹•м⁻¹).

• У анізатропным асяроддзі ${\displaystyle \varepsilon }$, ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \sigma }$ з’яўляюцца тэнзарамі ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$, ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ і ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$. У сістэме каардынат галоўных восей іх можна апісаць дыяганальнымі матрыцамі. У гэтым выпадку, сувязь паміж напружанасцямі палёў і індукцыямі мае розныя каэфіцыенты па кожнай каардынаце. Напрыклад, у сістэме СІ:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}D_{x}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{xx}\,E_{x},~~~~~&D_{y}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{yy}\,E_{y},~~~~~&D_{z}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{zz}\,E_{z},\\[3mm]B_{x}=\mu _{0}\mu _{xx}\,H_{x},~~~~~&B_{y}=\mu _{0}\mu _{yy}\,H_{y},~~~~~&B_{z}=\mu _{0}\mu _{zz}\,H_{z}.\end{array}}}$

• Хоць для шырокага класа рэчываў лінейнае прыбліжэнне для слабых палёў выконваецца з высокай дакладнасцю, у агульным выпадку залежнасць паміж ${\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {H} }$ і ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }$ можа быць нелінейнай. У гэтым выпадку пранікальнасці асяроддзя не з’яўляюцца пастаяннымі, а залежаць ад велічыні поля ў дадзенай кропцы. Акрамя таго, больш складаная сувязь паміж ${\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {H} }$ і ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }$ назіраецца ў асяроддзях з прасторавай або часавай дысперсіямі. У выпадку прасторавай дысперсіі токі і зарады ў дадзенай кропцы прасторы залежаць ад велічыні поля не толькі ў той жа кропцы, але і ў суседніх кропках. У выпадку часавай дысперсіі палярызацыя і намагнічанасць асяроддзя не вызначаюцца толькі велічынёй поля ў дадзены момант часу, а залежаць таксама ад велічыні палёў у папярэднія моманты часу. У самым агульным выпадку нелінейных і неаднародных асяроддзяў з дысперсіяй, матэрыяльныя ўраўненні ў сістэме СІ прымаюць інтэгральны выгляд:

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t-t',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} ';}$

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)=\int _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t-t',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {H} (\mathbf {r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} '.}$

.

Аналагічныя ўраўненні атрымліваюцца ў гаусавай сістэме СГС (калі фармальна прыняць ${\displaystyle \varepsilon _{0}=1}$).

Ураўненні ў ізатропных і аднародных асяроддзях без дысперсіі[правіць | правіць зыходнік]

У ізатропных і аднародных асяроддзях без дысперсіі ўраўненні Максвела прымаюць наступны выгляд:

У аптычным дыяпазоне частот замест дыэлектрычнай пранікальнасці ${\displaystyle \varepsilon }$ выкарыстоўваецца паказчык праламлення ${\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon \mu }}}$, які паказвае адрозненне хуткасці распаўсюджвання монахраматычнай светлавой хвалі ў асяроддзі ад хуткасці святла ў вакууме. Пры гэтым ў аптычным дыяпазоне дыэлектрычная пранікальнасць звычайна прыкметна меншая чым на нізкіх частотах, а магнітная пранікальнасць большасці аптычных асяроддзяў практычна роўная адзінцы. Паказчык праламлення большасці празрыстых матэрыялаў складае ад 1 да 2, дасягаючы 5 у некаторых паўправаднікоў^[33]. У вакууме і дыэлектрычная, і магнітная пранікальнасці роўныя адзінцы: ${\displaystyle \varepsilon =\mu =1}$.

Ураўненні Максвелла ў лінейным асяроддзі з’яўляюцца лінейнымі адносна палёў ${\displaystyle (\mathbf {E} ,\mathbf {B} )}$ і свабодных зарадаў і токаў ${\displaystyle (\rho ,\mathbf {j} )}$, таму справядлівы прынцып суперпазіцыі:

Калі размеркавані зарадаў і токаў${\displaystyle (\rho _{1},\mathbf {j} _{1})}$ ствараюць электрамагнітнае поле з кампанентамі${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\mathbf {B} _{1})}$, а іншыя размеркаванні ${\displaystyle (\rho _{2},\mathbf {j} _{2})}$ ствараюць, адпаведна, поле ${\displaystyle (\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{2})}$, то сумарнае поле, якое ствараецца крыніцамі ${\displaystyle (\rho _{1}+\rho _{2},\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2})}$, будзе роўнае ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2})}$.

Пры распаўсюджванні электрамагнітных палёў у лінейным асяроддзі пры адсутнасці зарадаў і токаў сума любых асобных рашэнняў ураўненняў Максвела таксама будзе іх рашэннем.

Межавыя ўмовы[правіць | правіць зыходнік]

У многіх выпадках неаднароднае асяроддзе можна прадставіць у выглядзе сукупнасці кавалкава-непарыўных аднародных абласцей, раздзеленых бесканечна тонкімі межамі. Пры гэтым можна рашаць ураўненні Максвела ў кожнай вобласці асобна, а пасля «сшыць» атрыманыя рашэнні на межах. У прыватнасці, пры разглядзе рашэння ў канечным аб’ёме неабходна ўлічваць ўмовы на межах аб’ёму з навакольнай бясконцай прасторай. Межавыя ўмовы атрымліваюцца з ураўненняў Максвела гранічным пераходам. Для гэтага прасцей за ўсё скарыстаць ураўненні Максвелла ў інтэгральнай форме.

Выбіраючы ў другой пары ўраўненняў контур інтэгравання ў выглядзе прамавугольнай рамкі бясконца малой вышыні так, каб рамка перасякала мяжу падзелу двух асяроддзяў, можна атрымаць наступную сувязь паміж кампанентамі поля ў дзвюх абласцях, якія прымыкаюць да мяжы^[34]:

дзе ${\displaystyle \mathbf {n} _{1-2}}$ — адзінкавы вектар нармалі да паверхні, які накіраваны з асяроддзя 1 у асяроддзе 2 і мае размернасць, адваротную даўжыні, ${\displaystyle \mathbf {j} _{s}}$ — шчыльнасць паверхневых свабодных токаў уздоўж мяжы (гэта значыць не уключаючы звязаных токаў намагнічвання, якія складваюцца на мяжы асяроддзя з мікраскапічных малекулярных і іншых падобных токаў). Першую межавую ўмову можна вытлумачыць як непарыўнасць на мяжы абласцей тангенцыяльных кампанент напружанасцей электрычнага поля (з другой вынікае, што тангенцыяльныя кампаненты напружанасці магнітнага поля непарыўныя толькі пры адсутнасці паверхневых токаў на мяжы).

Аналагічным чынам, выбіраючы вобласць інтэгравання ў першай пары інтэгральных ураўненняў у выглядзе цыліндра бясконца малой вышыні, які перасякае мяжу падзелу так, што яго ўтваральныя перпендыкулярныя мяжы падзелу, можна атрымаць:

дзе ${\displaystyle \rho _{s}\ }$ — паверхневая шчыльнасць свабодных зарадаў (гэта значыць, што яна не ўключае ў сябе звязаных зарадаў, якія ўзнікаюць на мяжы асяроддзя з-за дыэлектрычнай палярызацыі самога асяроддзя).

Гэтыя межавыя ўмовы паказваюць непарыўнасць нармальнай кампаненты вектару магнітнай індукцыі (нармальная кампанента электрычнай індукцыі непарыўная толькі пры адсутнасці на мяжы паверхневых зарадаў).

З ураўнення непарыўнасці можна атрымаць межавую ўмову для токаў:

${\displaystyle (\mathbf {j} _{1}-\mathbf {j} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}={\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{s}}$,

Важным асобным выпадкам з’яўляецца мяжа падзелу дыэлектрыка і ідэальнага правадніка. А раз ідэальны праваднік мае бесканечную праводнасць, электрычнае поле ўнутры яго роўнае нулю (інакш яно спараджала б бесканечную шчыльнасць току). Тады ў агульным выпадку зменных палёў з ураўненняў Максвела вынікае, што і магнітнае поле ў правадніку роўнае нулю. У выніку тангенцыяльная кампанента электрычнага і нармальная магнітнага поля на мяжы з ідэальным правадніком роўныя нулю:

Законы захавання[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненні Максвела ўтрымліваюць у сабе законы захавання зараду і энергіі электрамагнітнага поля.

Ураўненне непарыўнасці[правіць | правіць зыходнік]

Крыніцы палёў (${\displaystyle \rho ,~\mathbf {j} }$) не могуць быць зададзены адвольным чынам. Прымяняючы аперацыю дывергенцыі да чацвёртага ўраўнення (закон Ампера-Максвела) і выкарыстоўваючы першае ўраўненне (закон Гаўса), можна атрымаць ураўненне непарыўнасці для зарадаў і токаў:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.}$

Гэта ўраўненне пры дапамозе інтэгральнай тэарэмы Астраградскага — Гауса можна запісаць у наступным выглядзе:

${\displaystyle \oint _{s}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d}{dt}}\int _{v}\rho \,dv.}$

У левай частцы ўраўнення знаходзіцца поўны ток, што працякае праз замкнёную паверхню ${\displaystyle s\ }$. У правай частцы — змяненне з часам зараду ўнутры аб’ёму ${\displaystyle v\ }$. Такім чынам, змяненне зараду ўнутры аб’ёму магчыма толькі пры яго прытоку або адтоку праз паверхню ${\displaystyle s\ }$, якая абмяжоўвае аб’ём.

Ураўненне непарыўнасці, раўназначнае закону захавання зараду, выходзіць далёка за межы класічнай электрадынамікі, застаючыся справядлівым і ў квантавай тэорыі. Таму гэта ўраўненне само па сабе можа быць паложана ў аснову электрамагнітнай тэорыі. Тады, напрыклад, ток зрушэння (вытворная па часе электрычнага поля) павінен абавязкова прысутнічаць у законе Ампера.

З ураўненняў Максвелла для ротараў і ўраўнення непарыўнасці з дакладнасцю да адвольных функцый, незалежных ад часу, вынікаюць законы Гауса для электрычнага і магнітнага палёў.

Закон захавання энергіі[правіць | правіць зыходнік]

Калі дамножыць трэцяе ўраўненне Максвела ў дыферэнцыяльнай форме (закон Фарадэя) скалярна на ${\displaystyle \mathbf {H} }$, а чацвёртае (закон Ампера — Максвела) — на ${\displaystyle -\mathbf {E} }$ і скласці вынікі, можна атрымаць тэарэму Пойнтынга:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(w_{E}+w_{H}\right)=-\mathbf {E} \mathbf {j} ,}$

дзе

Вывад тэарэмы Пойнтынга  

Пры дапамозе трэцяга і чацвёртага ўраўнення Максвела ў дыферэнцыяльнай форме, у сістэме СІ можна атрымаць:

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\mathbf {E} \mathbf {j} +\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}},~~~~~~~~~~~~~\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]=-\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Розніца левых частак ураўненняў згортваецца па наступнай формуле вектарнага аналізу (вытворная здабытку):

${\displaystyle \nabla \cdot [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]=\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]-\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ].}$

У лінейных, але, магчыма, неізатропных асяроддзях, паміж напружаннямі і індукцыямі існуе лінейная сувязь. Напрыклад, для электрычнага поля ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,{\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} }$. Калі ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$ — сіметрычная матрыца, якая не залежыць ад часу, то:

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\,{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}.}$

Аналагічна для магнітнага поля.

Вектар ${\displaystyle \mathbf {S} }$ называецца вектарам Пойнтынга (вектарам шчыльнасці патоку электрамагнітнай энергіі) і вызначае колькасць электрамагнітнай энергіі, якая пераносіцца праз адзінку плошчы ў адзінку часу. Інтэграл вектара Пойнтынга па сячэнні хвалі, якая распаўсюджваецца, вызначае яе моц. Важна адзначыць, што, як упершыню паказаў Хэвісайд, фізічны сэнс патоку энергіі мае толькі бязвіхравая частка вектара Пойнтынга. Віхравая частка, дывергенцыя якой роўная нулю, не звязана з пераносам энергіі. Заўважым, што Хэвісайд атрымаў выраз для закона захавання незалежна ад Пойнтынга. У рускамоўнай літаратуры вектар Пойнтынга часта называецца таксама «вектарам Умава — Пойнтынга».

Велічыні ${\displaystyle w_{E}\ }$ і ${\displaystyle w_{H}\ }$ вызначаюць аб’ёмныя шчыльнасці энергіі, адпаведна, электрычнага і магнітнага палёў. Пры адсутнасці токаў і звязаных з імі страт тэарэма Пойнтынга з’яўляецца ўраўненнем непарыўнасці для энергіі электрамагнітнага поля. Праінтеграваўшы яго ў гэтым выпадку па некаторым замкнёным аб’ёме і скарыстаўшы тэарэму Астраградскага — Гауса, можна атрымаць закон захавання энергіі для электрамагнітнага поля:

${\displaystyle \oint _{s}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {s} +{\frac {d}{dt}}\int _{v}(w_{E}+w_{H})\,dv=0.}$

Гэта ўраўненне паказвае, што пры адсутнасці ўнутраных страт змяненне энергіі электрамагнітнага поля ў аб’ёме адбываецца толькі за кошт магутнасці электрамагнітнага выпраменьвання, што пераносіцца праз мяжу гэтага аб’ёму.

Вектар Пойнтынга звязаны з імпульсам электрамагнітнага поля^[35]:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} \,dv,}$

дзе інтэграванне праводзіцца па ўсёй прасторы. Электрамагнітная хваля, паглынаючыся або адлюстроўваючыся ад некаторай паверхні, перадае ёй частку свайго імпульсу, што праяўляецца ў форме светлавога ціску. Эксперыментальна гэты эфект ўпершыню назіраўся П. Н. Лебедзевым ў 1899 годзе.

Патэнцыялы[правіць | правіць зыходнік]

Скалярныя і вектарныя патэнцыялы[правіць | правіць зыходнік]

Закон Фарадэя і закон Гауса для магнітнай індукцыі выконваюцца тоесна, калі электрычнае і магнітнае палі выразіць праз скалярны ${\displaystyle \varphi }$ і вектарны ${\displaystyle \mathbf {A} }$ патэнцыялы^[36]:

Доказ  

Калі магнітнае поле роўнае ротару вектарнага патэнцыялу, то дывергенцыя аўтаматычна роўная нулю:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {A} ]=[\nabla \times \nabla ]\cdot \mathbf {A} =0.}$

Падстаўляючы выраз для напружанасці электрычнага поля ў закон Фарадэя, напрыклад, у сістэме СІ, атрымліваем:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Пры дадзеных электрычным ${\displaystyle \mathbf {E} }$ і магнітным ${\displaystyle \mathbf {B} }$ палях, скалярны і вектарны патэнцыялы вызначаны неадназначна. Калі ${\displaystyle \psi \ }$ — адвольная функцыя каардынат і часу, то наступнае пераўтварэнне не зменіць значэнне палёў:

Падобныя пераўтварэнні іграюць важную ролю ў квантавай электрадынаміцы і ляжаць у аснове лакальнай калібравальнай сіметрыі электрамагнітнага ўзаемадзеяння. Лакальная калібравальная сіметрыя ўводзіць залежнасць ад каардынат і часу ў фазу глабальнай калібравальнай сіметрыі, якая, у сілу тэарэмы Нётэр, прыводзіць да закона захавання зараду.

Неадназначнасць вызначэння патэнцыялаў аказваецца зручнай для накладання на іх дадатковых умоў, так званай каліброўкі. Дзякуючы гэтаму, ўраўненні электрадынамікі прымаюць прасцейшы выгляд. Разгледзім, напрыклад, ураўненні Максвелла ў аднародных і ізатропных асяроддзях з дыэлектрычнай (${\displaystyle \varepsilon }$) і магнітнай (${\displaystyle \mu \ }$) пранікальнасцямі. Для дадзеных ${\displaystyle \varphi }$ і ${\displaystyle \mathbf {A} }$ заўсёды можна падабраць такую ​​функцыю ${\displaystyle f}$, каб выконвалася калібравальная ўмова Лорэнца^[37]:

У гэтым выпадку тыя ўраўненні Максвела, што засталіся, ў аднародных і ізатропных асяроддзях можна запісаць у наступным выглядзе: