Konische Spirale

Eine konische Spirale ist eine Kurve auf einem senkrechten Kreiskegel, deren Grundriss eine ebene Spirale ist. Ist der Grundriss eine logarithmische Spirale, so nennt man sie Concho-Spirale, abgeleitet von Conch (Wasserschnecke).

Wie die logarithmische Spirale selbst spielt auch die mit ihr konstruierte Concho-Spirale in der Biologie bei der Modellierung von Schneckenhäusern, beim Insektenflug^[1][2] und in der Technik bei der Konstruktion von breitbandigen Antennen^[3][4] eine Rolle.

Ist in der ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene durch die Parameterdarstellung

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

eine ebene Spirale gegeben, so kann man eine dritte Koordinate ${\displaystyle z(\varphi )}$ so anfügen, dass die dadurch entstehende räumliche Kurve auf dem senkrechten Kreiskegel mit der Gleichung ${\displaystyle \;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$ liegt:

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

Kurven dieser Art heißen konische Spiralen und die zur Konstruktion benutzte ebene Spirale ist ihr Grundriss.^[5] Sie waren schon Pappos bekannt.

Der Parameter ${\displaystyle m}$ ist die Steigung der Kegelgeraden gegenüber der ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene.

Die konische Spirale kann man auch als orthogonale Projektion der Grundriss-Spirale auf den Kegelmantel ansehen.

Beispiele

1) Geht man von einer archimedischen Spirale ${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$ aus, erhält man die konische Spirale (siehe Bild)

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

In diesem Fall kann man die konische Spirale auch als Schnittkurve eines Kegels und einer Wendelfläche auffassen.

2) Das zweite Bild zeigt eine konische Spirale mit einer fermatschen Spirale ${\displaystyle \;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\varphi }}\;}$ als Grundriss.

3) Das dritte Beispiel hat eine logarithmische Spirale ${\displaystyle \;r(\varphi )=ae^{k\varphi }\;}$ als Grundriss. Sie zeichnet sich durch eine konstante Steigung aus (s. unten).

4) In diesem Beispiel ist der Grundriss eine hyperbolische Spirale ${\displaystyle \;r(\varphi )=a/\varphi \;}$. Sie besitzt eine Asymptote (schwarze Gerade). Diese Asymptote ist der Grundriss einer Hyperbel (lila), an die sich die konische Spirale für ${\displaystyle \varphi \to 0}$ annähert.

Im Folgenden werden Eigenschaften konischer Spiralen mit Grundrissen der Form ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$ bzw. ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ angegeben:

Unter der Steigung einer konischen Spirale versteht man die Steigung der Spirale (Tangente) gegenüber der Horizontalen (${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene). Der zugehörige Steigungswinkel ist ${\displaystyle \beta }$ (s. Bild):

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .}$

Für eine Spirale mit ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$ ergibt sich:

• ${\displaystyle \tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .}$

Für eine archimedische Spirale ist ${\displaystyle n=1}$ und damit die Steigung ${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .}$

• Für eine logarithmische Spirale mit ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ist ${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\ }$ (${\displaystyle \color {red}{\text{ konstant!}}}$ ).

Eine Concho-Spirale heißt deswegen auch gleichwinklige konische Spirale.

Die Länge eines Kurvenbogens einer konischen Spirale ist

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Für eine archimedische Spirale ist das auftretende Integral, wie im ebenen Fall, mit Hilfe einer Integrationstabelle lösbar.

${\displaystyle L={\frac {a}{2}}{\big [}\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln {\big (}\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}{\big )}{\big ]}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .}$

Für eine logarithmische Spirale lässt sich das Integral leicht lösen:

${\displaystyle L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

In anderen Fällen können elliptische Integrale auftreten.

Für die Abwicklung einer konischen Spirale^[6] müssen der Abstand ${\displaystyle \rho (\varphi )}$ eines Kurvenpunktes ${\displaystyle (x,y,z)}$ von der Kegelspitze ${\displaystyle (0,0,z_{0})}$ und die Beziehung zwischen dem Winkel ${\displaystyle \varphi }$ und dem Winkel ${\displaystyle \psi }$ in der Abwicklung bestimmt werden:

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .}$

Die Polardarstellung der abgewickelten konischen Spirale ist also:

• ${\displaystyle \rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )}$

Die Abwicklung im Fall ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$ ist in Polardarstellung die Kurve

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},}$

eine Spirale vom gleichen Typ. Speziell:

• Ist der Grundriss einer konischen Spirale eine archimedische Spirale, so ist die Abwicklung auch eine archimedische Spirale.

Bei einer hyperbolischen Spirale (${\displaystyle n=-1}$) ist die Abwicklung sogar zum Grundriss kongruent.

Im Fall einer logarithmischen Spirale mit ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ist die Abwicklung die logarithmische Spirale

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .}$

Der Schnitt der Tangenten einer konischen Spirale mit der ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene (Ebene durch die Kegelspitze) nennt man Tangentenspur.

Für die konische Spirale

${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)}$

ist der Tangentenvektor

${\displaystyle (r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}}$

und die Tangente:

${\displaystyle x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,}$

${\displaystyle z(t)=mr+tmr'\ .}$

Der Schnittpunkt der Tangente mit der ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene hat den Parameter ${\displaystyle t=-r/r'}$ und ist

• ${\displaystyle ({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0)\ .}$

Für ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$ ist ${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\ }$ und die Tangentenspur wieder eine Spirale, die allerdings im Fall ${\displaystyle n=-1}$ (hyperbolische Spirale) zu einem Kreis mit Radius ${\displaystyle a}$ entartet (siehe Bild). Für ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ist ${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\ }$ und die Spur wieder eine zur gegebenen logarithmischen Spirale kongruente Spirale (wegen Selbstähnlichkeit einer logarithmischen Spirale).

1. ↑ New Scientist
2. ↑ Conchospirals in the Flight of Insects
3. ↑ John D. Dyson: The Equiangular Spiral Antenna. In: IRE Transactions on Antennas and Propagation. Vol. 7, 1959, S. 181–187.
4. ↑ T. A. Kozlovskaya: The Concho-Spiral on the Cone. Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Inform., 11:2 (2011), 65–76.
5. ↑ Siegmund Günther, Anton Edler von Braunmühl, Heinrich Wieleitner: Geschichte der mathematik. G. J. Göschen, 1921, S. 92.
6. ↑ Theodor Schmid: Darstellende Geometrie. Band 2, Vereinigung wissenschaftlichen Verleger, 1921, S. 229.

• Jamnitzer-Galerie: 3D-Spiralen. (Zugriff verweigert).
• Eric W. Weisstein: Conical Spiral. In: MathWorld (englisch).