Monogenes Signal

Das monogene Signal ist eine Verallgemeinerung des analytischen Signals auf mehr als eine Dimension auf Basis der Riesz-Transformation. Das monogene Signal findet Anwendung in der Bildverarbeitung. Mit ihm können Bilder in lokale Amplitude und lokale Phase zerlegt werden.

Es sei d eine natürliche Zahl und ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$ eine Funktion. Dann ist das monogene Signal ${\displaystyle f_{M}}$ definiert durch

${\displaystyle f_{M}:=(f,R_{1}f,\ldots ,R_{d}f),}$

wobei ${\displaystyle R_{j},j=1,\ldots ,d}$ die j-te Komponente der Riesz-Transformation bezeichnet.

Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, ${\displaystyle j=1,\ldots ,d,}$ der Riesz-Transformation ${\displaystyle R_{j}}$ ist definiert durch

${\displaystyle R_{j}f(x):=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{0<\epsilon \leq \left|y\right|}{\frac {y_{j}}{\left|y\right|^{d+1}}}f(x-y)\,\mathrm {d} y}$

mit

${\displaystyle c_{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {d+1}{2}}\right)}{\pi ^{(d+1)/2}}},}$

wobei ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion bezeichnet.

Die Riesz-Transformation ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten ${\displaystyle R_{j}}$

${\displaystyle Rf(x):=(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x)).}$

Für ${\displaystyle d=1}$ ist die Riesz-Transformation die Hilbert-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signals als komplexe Zahl auffasst, d. h.

${\displaystyle \left(f(x),R_{1}f(x)\right)=f(x)+iR_{1}f(x)=f(x)+i{\mathcal {H}}f(x)}$

Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale Amplitude und lokale Phase. Die lokale Amplitude ${\displaystyle A}$ ist in diesem Falle definiert durch

${\displaystyle A(x)={\sqrt {f^{2}(x)+(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},}$

der lokale Phasenwinkel ${\displaystyle \alpha }$ durch

${\displaystyle \alpha (x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|,}$

die lokale Phasenrichtung ${\displaystyle u}$ durch

${\displaystyle u(x)={\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}}$

und die lokale Phase ${\displaystyle \phi }$ durch

${\displaystyle \phi (x)=\alpha (x)u(x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|{\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}.}$

Beispiel

Fasst man die Funktion ${\displaystyle f}$ als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:

• Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.
• Unter Verwendung einer Multiskalenanalyse kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.

• M. Felsberg, G. Sommer: The monogenic signal. In: IEEE Transactions on Signal Processing. Band 49, Nr. 12, 2001, S. 3136–3144. 
• S. Held, M. Storath, P. Massopust, B. Forster: Steerable Wavelet Frames Based on the Riesz Transform. In: IEEE Transactions on Image Processing. Band 19, Nr. 3, 2010, S. 653–667. 

Die folgenden Softwarepakete implementieren das monogene Signal auf Multiskalenbasis

• Monogenic Wavelet Toolbox for ImageJ, Technische Universität München
• MonogenicJ: A ImageJ plugin for wavelet-based monogenic analysis of images EPF Lausanne