Periodogramm

Das Periodogramm ist ein Schätzer für die spektrale Leistungsdichte eines Signals. Gesucht ist also eine Funktion ${\displaystyle P\left(\omega \right)}$, welche die Verteilung der Leistung (oder Energie) des Signals auf die Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ angibt. Der Ausdruck wurde von Arthur Schuster 1898 geprägt.^[1] Die Methode wird eingesetzt in der Signalverarbeitung, Elektrotechnik, Physik und Ökonometrie. Ein wichtiges Beispiel sind Spektrum-Analysatoren.

Im mathematischen Sinn ist das Periodogramm ein nicht konsistenter Schätzer, siehe auch Spektraldichteschätzung.

In der Regel sind nur Abtastwerte des Signals ${\displaystyle f\left(t\right)}$ zu diskreten Zeitpunkten ${\displaystyle t_{n}=nT}$ mit konstanter Abtastdauer ${\displaystyle T}$ gegeben, und man beschränkt sich zur Abschätzung auf ${\displaystyle N}$ Abtastwerte, z. B. ${\displaystyle f\left(t_{n}\right)}$ mit ${\displaystyle 0\leq n<N}$, d. h. auf ein Zeitintervall der Dauer ${\displaystyle NT}$.

Ein wesentlicher Schritt des Verfahrens ist eine diskrete Fourier-Transformation. Die Einschränkung der Fourier-Transformation auf ein Zeitintervall der Dauer ${\displaystyle NT}$ lässt sich erreichen durch Multiplikation des Signals mit einer Fensterfunktion ${\displaystyle w\left(t\right)}$. Im einfachsten Fall ist ${\displaystyle w\left(t\right)}$ eine Rechteckfunktion der Breite ${\displaystyle NT}$.

Um Artefakte im Spektrum (aufgrund der Unstetigkeiten des Rechteckfensters) zu verringern, werden jedoch in der Regel Fenster mit langsameren Änderungen und eigenen Bezeichnungen verwendet, z. B. das Parzen-Fenster oder das „Welch-Fenster“. Man spricht dann von einem modifizierten Periodogramm.^[2]

Für die diskrete Fouriertransformierte des Signals ${\displaystyle f\left(t\right)w\left(t\right)}$ wird die Schreibweise ${\displaystyle F^{\left(w\right)}\left(\omega _{m}\right)=\sum \limits _{n}f\left(t_{n}\right)w\left(t_{n}\right)e^{i\omega _{m}t_{n}}}$ verwendet. Hierbei sind nur Kreisfrequenzen ${\displaystyle \omega _{m}=2\pi m/(NT)}$ mit ${\displaystyle 0\leq m<N}$ zulässig.

Das Periodogramm ist definiert gemäß

${\displaystyle P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{\sum _{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)^{2}}}.}$

In Übereinstimmung mit dem Abtasttheorem ist das Periodogramm ${\displaystyle 2\pi /T}$-periodisch. Man beschränkt sich daher auf ein Intervall (Brillouin-Zone) ${\displaystyle 0\leq \omega \leq 2\pi /T}$ oder ${\displaystyle -\pi /T\leq \omega \leq \pi /T}$.

Den Normierungsfaktor betreffend gibt es verschiedene Konventionen. Eine wichtige Kenngröße hierbei ist das mittlere Amplitudenquadrat ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{n}\left|f\left(t_{n}\right)\right|^{2}}$ (die mittlere Leistung) des Signals. Die Normierung ist so gewählt, dass der Mittelwert von ${\displaystyle P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)}$ bestmöglich mit ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle }$ übereinstimmt.

Falls die Amplitude des Signals digitalisiert ist und Maximalwert ${\displaystyle A}$ hat, ist das Periodogramm auch relativ zum Maximum normierbar (Fullscale). Das Maximum wird für monochromatische Signale ${\displaystyle f=Ae^{-i\omega t}}$ erreicht, das Full-Scale Periodogramm ist

${\displaystyle P_{FS}^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{\left(\sum _{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)\right)^{2}}}.}$

Es sei ${\displaystyle f\left(t\right)}$ ein weißes Rauschen mit Varianz ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle }$, ${\displaystyle \left\langle f\left(t_{m}\right)f^{*}\left(t_{n}\right)\right\rangle =\delta _{m,n}\left\langle A^{2}\right\rangle }$. Das Ensemble-Mittel des Betragsquadrats der Fourier-Transformierten ist dann

${\displaystyle \left\langle \left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}\right\rangle =\left\langle A^{2}\right\rangle \sum \limits _{m,n}e^{i\omega \left(t_{m}-t_{n}\right)}\delta _{m,n}w\left(t_{m}\right)w\left(t_{n}\right)=\left\langle A^{2}\right\rangle \sum _{n}w\left(t_{n}\right)^{2}.}$

Das Periodogramm hat den Mittelwert ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle }$, und zwar unabhängig von der Fensterlänge. Alle Frequenzen geben denselben Energiebeitrag.

Für den Frequenz-Mittelwert von ${\displaystyle \left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}$ lassen sich allgemeine Aussagen machen. Ausgangspunkt ist

${\displaystyle \sum _{\omega }\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}=\sum _{\omega }\sum \limits _{t,t'}e^{i\omega \left(t-t'\right)}f\left(t\right)w\left(t\right)f^{*}\left(t'\right)w\left(t'\right)=N\sum _{t}\left|f\left(t\right)\right|^{2}w^{2}\left(t\right).}$

Für konstantes Signal ${\displaystyle f\left(t\right)=A}$ wird

${\displaystyle \sum _{\omega }\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}=N\left\langle A^{2}\right\rangle \sum _{t}w^{2}\left(t\right).}$

Der Mittelwert des Periodogramms ist (unabhängig von ${\displaystyle N}$) ebenfalls ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle }$. Das Periodogramm liefert bei konstantem Signal einen Peak bei Frequenz ${\displaystyle 0}$. Mit wachsendem ${\displaystyle N}$ wird dieser Peak höher und schmäler.

Im Fall eines Rechteck-Fensters ${\displaystyle w=1}$ gilt die Parseval-Gleichung ${\displaystyle \sum _{\omega }\left|F\left(\omega \right)\right|^{2}=N^{2}\left\langle A^{2}\right\rangle }$. Durch Division durch ${\displaystyle N^{2}}$ folgt der Mittelwert des Periodogramms ${\displaystyle \sum _{\omega }P\left(\omega \right)/N=\left\langle A^{2}\right\rangle }$. Dieser Wert ist von ${\displaystyle N}$ unabhängig, sofern dies für das mittlere Amplitudenquadrat ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle }$ gilt.

Die Zahl der Werte im Periodogramm wächst mit der Fensterlänge ${\displaystyle N}$, die Werte werden dabei jedoch nicht genauer. Im Fall eines weißen Rauschens mit Amplitude ${\displaystyle A}$ bleibt die Varianz der Periodogramm-Werte bei wachsender Fensterlänge von der Größenordnung ${\displaystyle A^{4}}$.^[3] Abhilfe schafft eine Mittelung benachbarter Werte oder eine Mittelung über mehrere Periodogramme.^[2]

Für ein auf dem Zeit-Kontinuum definiertes Signal ${\displaystyle f(t)}$ ist die Fourier-Transformierte des Produktes von Signal und Fensterfunktion

${\displaystyle F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)w\left(t\right)e^{i\omega t}dt.}$

Das Periodogramm ist

${\displaystyle P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{T\int _{-\infty }^{\infty }w^{2}\left(t\right)dt}}.}$

Wie beim abgetasteten Signal bleibt die Standardabweichung der Periodogramm-Werte bei wachsender Zeitreihenlänge ${\displaystyle T}$ im ungünstigsten Fall von derselben Größenordnung wie die Werte selber.

1. ↑ Arthur Schuster: On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena, Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity, 3, S. 13–41, 1898
2. ↑ ^{a b} William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Michael Metcalf: Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43108-5
3. ↑ Monson H. Hayes: Statistical Digital Signal Processing and Modeling, John Wiley & sons, inc, 1996, ISBN 978-0-471-59431-4