En matemáticas , una bifurcación tridente [ 1] (en inglés pitchfork bifurcation ) es un tipo particular de bifurcación local . Es habitual en sistemas dotados de alguna simetría . Al igual que las bifurcaciones de Hopf , las bifurcaciones pitchfork pueden ser supercríticas o subcríticas.
Caso supercrítico [ editar ] Caso supercrítico: las líneas continuas representan puntos estables, mientras que las líneas punteadas representan aquellos valores inestables. La forma normal de la bifurcación tridente supercrítica es:
d x d t = r x − x 3 . {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.} Para los valores negativos de r {\displaystyle r} , hay un equilibrio estable en x = 0 {\displaystyle x=0} . Para r > 0 {\displaystyle r>0} hay un equilibrio inestable en x = 0 {\displaystyle x=0} , y dos equilibrios estables para x = ± r {\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}} .
Caso subcrítico [ editar ] Caso subcrítico: las líneas continuas representan puntos estables, mientras que las líneas punteadas representan aquellos valores inestables. La forma normal de la bifurcación tridente subcrítica es:
d x d t = r x + x 3 . {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.} En este caso, para r < 0 {\displaystyle r<0} el equilibrio en x = 0 {\displaystyle x=0} es estable, y hay dos equilibrios inestables en x = ± − r {\displaystyle x=\pm {\sqrt {-r}}} . Para r > 0 {\displaystyle r>0} el equilibrio en x = 0 {\displaystyle x=0} es inestable.
Definición formal [ editar ] Una ecuación diferencial ordinaria
x ˙ = f ( x , r ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)\,} descrita por una función uniparamétrica f ( x , r ) {\displaystyle f(x,r)} con r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} } satisfaciendo:
− f ( x , r ) = f ( − x , r ) {\displaystyle -f(x,r)=f(-x,r)\,\,} (f es una función impar ), ∂ f ∂ x ( 0 , r o ) = 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 ( 0 , r o ) = 0 , ∂ 3 f ∂ x 3 ( 0 , r o ) ≠ 0 , ∂ f ∂ r ( 0 , r o ) = 0 , ∂ 2 f ∂ r ∂ x ( 0 , r o ) ≠ 0. {\displaystyle {\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})\neq 0,\\[12pt]\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial r\partial x}}(0,r_{o})\neq 0.\end{array}}} tiene una bifurcación de pitchfork en ( x , r ) = ( 0 , r o ) {\displaystyle (x,r)=(0,r_{o})} . La forma de la bifurcación es dada por el signo de la tercera derivada:
∂ 3 f ∂ x 3 ( 0 , r o ) { < 0 , s u p e r c r i t i c a l > 0 , s u b c r i t i c a l {\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})\left\{{\begin{matrix}<0,&\mathrm {supercritical} \\>0,&\mathrm {subcritical} \end{matrix}}\right.\,\,} Referencias [ editar ] Véase también [ editar ]