Jean le Rond d'Alembert . El criterio del cociente o criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de esta.
Definiendo con n {\displaystyle n} a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos respectivamente lim sup {\displaystyle \limsup } y lim inf {\displaystyle \liminf } a los límites superior e inferior de la sucesión A n + 1 A n {\displaystyle \textstyle {A_{n+1} \over A_{n}}} se obtienen cada uno de los siguientes casos:
Si lim sup < 1 , A n {\displaystyle \limsup <1,\ A_{n}} converge. Si lim inf > 1 , A n {\displaystyle \liminf >1,\ A_{n}} diverge. Si lim inf ≤ 1 ≤ lim sup {\displaystyle \liminf \leq 1\leq \limsup } , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo. En el caso particular de que dicha sucesión sea convergente tendremos entonces que lim inf = lim sup = L {\displaystyle \liminf =\limsup =L} , siendo L {\displaystyle L} el límite de la sucesión, por lo que el estudio se puede simplificar a los siguientes casos:
Si L < 1 , A n {\displaystyle L<1,\ A_{n}} converge. Si L > 1 , A n {\displaystyle L>1,\ A_{n}} diverge. Si L = 1 {\displaystyle L=1} , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo. Formalización del método [ editar ] El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:
Sea: ∑ n = 0 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)}
Tal que:
f ( n ) > 0 {\displaystyle f(n)>0} (o sea una sucesión de términos positivos) y f ( n ) {\displaystyle f(n)} tienda a cero cuando n {\displaystyle n} tiende a infinito (condición necesaria de convergencia) Se procede de la siguiente manera:
De las dos condiciones anteriores tenemos que la sucesión f ( n + 1 ) f ( n ) {\displaystyle \textstyle {\frac {f(n+1)}{f(n)}}} está acotada
1) Si además de acotada, dicha sucesión es convergente calculamos:
lim n → ∞ f ( n + 1 ) f ( n ) = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=L} Así obtenemos L {\displaystyle L} y se clasifica de la siguiente manera:
L < 1 {\displaystyle L<1} la serie converge L > 1 {\displaystyle L>1} la serie diverge L = 1 {\displaystyle L=1} el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio. 2) Si la sucesión f ( n + 1 ) f ( n ) {\displaystyle {\frac {f(n+1)}{f(n)}}} no es convergente, como sucesión acotada que es, tendrá límites superior e inferior finitos.
Ahora bien habrá que calcularlos y proceder a aplicar el criterio más general:
lim sup n → ∞ f ( n + 1 ) f ( n ) = lim sup {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\limsup } lim inf n → ∞ f ( n + 1 ) f ( n ) = lim inf {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\liminf } Con lim sup {\displaystyle \limsup } y lim inf {\displaystyle \liminf } se clasifica de la siguiente manera:
Si lim sup < 1 {\displaystyle \limsup <1} , la serie converge. Si lim inf > 1 {\displaystyle \liminf >1} , la serie diverge. Si lim inf ≤ 1 ≤ lim sup {\displaystyle \liminf \leq 1\leq \limsup } , el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio. Si f ( n ) = n + 1 n ! {\displaystyle f(n)={\frac {n+1}{n!}}} , clasificar ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)} .
a) f ( n ) = n + 1 n ! > 0 {\displaystyle f(n)={\frac {n+1}{n!}}>0} b) n + 1 n ! {\displaystyle {\frac {n+1}{n!}}} tiende a cero conforme crece n {\displaystyle n} (porque el factorial crece más rápidamente que n +1) L = lim n → ∞ f ( n + 1 ) f ( n ) = lim n → ∞ n + 2 ( n + 1 ) ! n + 1 n ! = lim n → ∞ n + 2 ( n + 1 ) ! n ! ( n + 1 ) = lim n → ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) 2 = lim n → ∞ ( n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) 2 = lim n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 ( n + 1 ) 2 ) = 0 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n+1}{n!}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n!}{(n+1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+2)}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)+1}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)=0} y como L < 1 {\displaystyle L<1} , la serie ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)} converge.
Véase también [ editar ] Enlaces externos [ editar ]