Gamma Parámetros α > 0 {\displaystyle \alpha >0} real ) λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} real ) Dominio x ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle x\in (0,\infty )} Función de densidad (pdf) λ ( λ x ) α − 1 e − λ x Γ ( α ) {\displaystyle {\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}}} Función de distribución (cdf) 1 Γ ( α ) γ ( α , λ x ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\;\gamma (\alpha ,\lambda x)} Media α λ {\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda }}} Moda α − 1 λ por α ≥ 1 {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\lambda }}{\text{ por }}\alpha \geq 1} 0 por α < 1 {\displaystyle 0{\text{ por }}\alpha <1} Varianza α λ 2 {\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}} Entropía α − ln λ + ln Γ ( α ) + ( 1 − α ) ψ ( α ) {\displaystyle \alpha -\ln \lambda +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha )} Función generadora de momentos (mgf) ( λ λ − t ) α t < λ {\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }\quad t<\lambda } Función característica ( λ λ − i t ) α {\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{\alpha }}
Función de Densidad de una Gama. En teoría de probabilidad y Estadística , la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial , distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse
Con parámetro de forma k {\displaystyle k} θ {\displaystyle \theta } Con parámetro de forma α = k {\displaystyle \alpha =k} λ = 1 / θ {\displaystyle \lambda =1/\theta } Si una variable aleatoria continua X {\displaystyle X} distribución gamma con parámetros α > 0 {\displaystyle \alpha >0} λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} X ∼ Γ ( α , λ ) {\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
Si X ∼ Γ ( α , λ ) {\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )} función de densidad es
f X ( x ) = λ Γ ( α ) ( λ x ) α − 1 e − λ x {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}} para x > 0 {\displaystyle x>0}
Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt} es la función gamma y satisface
Γ ( 2 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (2)=\Gamma (1)=1} Para cualquier α > 0 {\displaystyle \alpha >0} Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) {\displaystyle \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )} Si n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!} Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} Si n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} Γ ( n 2 ) = π ( n − 1 ) ! 2 n − 1 ( n − 1 2 ) ! {\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}(n-1)!}{2^{n-1}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}} [ editar ] La función de distribución acumulada de una variable aleatoria X ∼ Γ ( α , λ ) {\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
F X ( x ) = ∫ 0 x λ Γ ( α ) ( λ y ) α − 1 e − λ y d y {\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}\;dy} Si X {\displaystyle X} X ∼ Γ ( n , λ ) {\displaystyle X\sim \Gamma (n,\lambda )} n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} X {\displaystyle X} distribución de Erlang ) entonces su función de distribución acumulada está dada por
F X ( x ) = 1 − ∑ k = 0 n − 1 ( λ x ) k k ! e − λ x = ∑ k = n ∞ ( λ x ) k k ! e − λ x {\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=1-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\\&=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\end{aligned}}} Si X {\displaystyle X} X ∼ Γ ( α , λ ) {\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )} X {\displaystyle X}
La media de la variable aleatoria X {\displaystyle X}
E [ X ] = α / λ {\displaystyle {\text{E}}[X]=\alpha /\lambda }
La varianza de la variable aleatoria X {\displaystyle X}
Var [ X ] = α λ 2 {\displaystyle {\text{Var}}[X]={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}} El n {\displaystyle n} variable aleatoria X {\displaystyle X}
E [ X n ] = α ( α + 1 ) ⋯ ( α + n − 1 ) λ n {\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{\lambda ^{n}}}} para n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
[ editar ] La función generadora de momentos está dada por
M X ( t ) = ( λ λ − t ) α {\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }} para λ > t {\displaystyle \lambda >t}
Si X i ∼ Γ ( α i , λ ) {\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (\alpha _{i},\lambda )} i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,2,\dots ,n}
∑ i = 1 n X i ∼ Γ ( ∑ i = 1 n α i , λ ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\lambda \right)} Si X ∼ Γ ( α , λ ) {\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )} c > 0 {\displaystyle c>0}
c X ∼ Γ ( α , λ / c ) {\displaystyle cX\sim \Gamma \left(\alpha ,\lambda /c\right)} Puede demostrarse que
E [ ln ( X ) ] = ψ ( α ) − ln ( λ ) {\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X)]=\psi (\alpha )-\ln(\lambda )} donde ψ {\displaystyle \psi } función digamma .
[ editar ] Se puede utilizar R (lenguaje de programación) para hallar los valores de la función de densidad f ( x ) {\displaystyle f(x)} función de distribución F ( x ) {\displaystyle F(x)} variable aleatoria continua X ∼ Γ ( α , λ ) {\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
Para x > 0 {\displaystyle x>0}
f X ( x ) = λ Γ ( α ) ( λ x ) α − 1 e − λ x {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}} entonces para evaluar la función de densidad f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)}
# d=density function dgamma ( x , α, λ) [ editar ] La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por
F X ( x ) = ∫ 0 x λ Γ ( α ) ( λ y ) α − 1 e − λ y d y {\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}\;dy} para x > 0 {\displaystyle x>0} F X ( x ) {\displaystyle F_{X}(x)}
# p=probability distribution function pgamma ( x , α, λ) Distribuciones Relacionadas [ editar ] Si X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} X i ∼ Exp ( λ ) {\displaystyle X_{i}\sim {\text{Exp}}(\lambda )} ∑ i = 1 n X i ∼ Γ ( n , λ ) {\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(n,\lambda \right)} distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gama cuando el parámetro α = n ∈ N {\displaystyle \alpha =n\in \mathbb {N} } Si X ∼ Γ ( 1 , λ ) {\displaystyle X\sim \Gamma \left(1,\lambda \right)} X ∼ Exp ( λ ) {\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )} Si X ∼ Γ ( n 2 , 1 2 ) {\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } X ∼ χ n 2 {\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}} 
![{\displaystyle {\text{E}}[X]=\alpha /\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9d09169f4d133d994eaa85c554dac08a191b4b)
![{\displaystyle {\text{Var}}[X]={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e324c06c297528e5d3a63f9176abcf9f13a6d3a8)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{\lambda ^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94f00117e39d9131ca916aaf8a81b019db436be)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X)]=\psi (\alpha )-\ln(\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851a0a36812edea4802f79b097400b31e049ad46)
Datos: Q117806
Multimedia: Gamma distribution / Q117806