Entero cuadrático

Los enteros cuadráticos, en los predios de la teoría de números, son una generalización de los enteros racionales a los cuerpos cuadráticos. Entre ejemplos importantes, se mencionan los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein. Aunque han sido estudiados, en un lapso mayor de cien años, muchos problemas continúan en ayunos de solución.

Los enteros cuadráticos son soluciones de la forma:

x² + Bx + C = 0

para enteros B y C. Tales soluciones tienen la forma a + ωb, donde a, b son enteros, y donde ω está definido mediante:

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{si }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{si }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

(D es un entero libre de cuadrados).

Esta caracterización fue dada por primera vez por Richard Dedekind en 1871.^[1]​^[2]​ Fijando un entero libre de cuadrados D, el anillo de enteros cuadráticos ℤ[ω] = {a + ωb ÷ a, b ∈ ℤ} es un subanillo del cuerpo cuadrático Q(√D). Por otra parte, ℤ[ω] es la clausura integral de ℤ en Q(√D). En otras palabras, es el anillo de enteros ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$ de Q(√D) y por lo tanto un dominio de Dedekind.

• Un ejemplo clásico es Z[√-1], los enteros gaussianos, que fueron introducidos por Carl Friedrich Gauss alrededor de 1800 para el establecimiento de su ley de reciprocidad bicuadrática.^[3]​
• Los elementos en ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}})}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]}$ son llamados enteros de Eisentein.
• En cambio, Z[√-3] no es un dominio de Dedekind.

Equipados con la norma

N(a + b√D) = a² - Db²,

${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$ es un dominio euclídeo (y a fortiori, un DFU) donde D = -1, -2, -3, -7, -11.^[4]​ Por otro lado, resulta que Z[√-5] no es un DFU porque, por ejemplo, 6 tiene dos factorizaciones distintas en elementos irreducibles:

6 = 2(3) = (1 + √-5)(1 - √-5)

(De hecho, Z[√-5] tiene número de clase 2.^[5]​) El fallo de la factorización única permitió a Ernst Kummer y Dedekind desarrollar una teoría que podría ampliar el conjunto de los "números primos"; el resultado fue la noción de ideales y la descomposición de ideales mediante ideales primos.

Siendo un dominio de Dedekind, un anillo de enteros cuadráticos es un DFU si y sólo si éste es un dominio de ideal principal ( i.e., si su número de clase es uno.) Sin embargo, hay anillos de enteros cuadráticos que son dominios de ideales principales y no son dominios euclídeos. Por ejemplo, Q[√-19] tiene número de clase 1 pero su anillo de enteros no es euclídeo.^[5]​ Existen métodos efectivos para calcular grupos de clases ideales de anillos de enteros cuadráticos, pero muchas preguntas teóricas sobre sus estructuras todavía siguen abiertas después de cien años.

• Último teorema de Fermat
• Ecuación de Pell

• Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64767-6, MR 1290116 .. Traducido del original en francés por John Meldrum.
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet (2 edición), Vieweg .. Retrieved 5. August 2009
• Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.
• J.S. Milne. Algebraic Number Theory, Version 3.01, September 28, 2008. Notas de lectura en línea (en inglés).