Función lineal

En geometría analítica y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, una función de una variable (normalmente esta variable se denota con ${\displaystyle x}$), que puede ser escrita como la suma de términos de la forma ${\displaystyle ax^{n}}$(donde ${\displaystyle a}$ es un número real y ${\displaystyle n}$ es un número natural) donde ${\displaystyle n\in \{0,1\}}$; es decir, ${\displaystyle n}$ solo puede ser 0 o 1. Se le llama lineal dado que su representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

${\displaystyle f(x)=mx+b}$

donde ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle b}$ son constantes reales y ${\displaystyle x}$ es una variable real. La constante ${\displaystyle m}$ determina la pendiente o inclinación (/) de la recta, y la constante ${\displaystyle b}$ determina el punto de corte de la recta con el eje vertical ${\displaystyle y.}$

Una función lineal de una única variable dependiente ${\displaystyle x}$ es de la forma:

${\displaystyle y=mx+b}$

que se conoce como ecuación de la recta en el plano lineal ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$.

En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

${\displaystyle y=0,5x+2}$

en esta recta el parámetro ${\displaystyle m}$ es igual a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ (corresponde al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos ${\displaystyle x}$ en una unidad entonces ${\displaystyle y}$ aumenta en ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ unidad, el valor de ${\displaystyle b}$ es 2, luego la recta corta el eje ${\displaystyle y}$ en el punto ${\displaystyle y=2}$.

En la ecuación:

${\displaystyle y=-x+5}$

la pendiente de la recta es el eje ${\displaystyle m=-1}$, es decir, cuando el valor de ${\displaystyle x}$ aumenta en una unidad, el valor de ${\displaystyle y}$ disminuye en una unidad; el corte con el eje ${\displaystyle y}$ es en ${\displaystyle y=5}$, dado que el valor de ${\displaystyle b=5}$.

En una recta el valor de ${\displaystyle m}$ corresponde a la tangente del ángulo ${\displaystyle \theta }$ de inclinación de la recta con el eje de las abscisas (eje ${\displaystyle x}$) a través de la expresión:

${\displaystyle m=\tan \theta }$

Las funciones lineales de diversas variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

${\displaystyle f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y}$

Representa un plano y una función

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}$

Representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n + 1)-dimensional.

• Funciones matemáticas
• Ecuación de la recta

• Ecuación de primer grado
• Ecuación de segundo grado
• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de quinto grado
• Ecuación de sexto grado
• Ecuación de séptimo grado
• Ecuación de octavo grado

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