Matriz invertible

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada ${\displaystyle A}$ de orden ${\displaystyle n}$ se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden ${\displaystyle n}$, llamada matriz inversa de ${\displaystyle A}$ y denotada por ${\displaystyle A^{-1}}$ si ${\displaystyle A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}}$, donde ${\displaystyle I_{n}}$ es la matriz identidad de orden ${\displaystyle n}$ y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo. La matriz singular ${\displaystyle A}$ se caracteriza porque su multiplicación por la matriz columna ${\displaystyle X}$ es igual a cero para algún ${\displaystyle X}$ no nulo. El conjunto de estos vectores (y al subespacio vectorial formado por ellos) se llamará ker${\displaystyle A}$ (de kernel, núcleo en alemán), para una matriz invertible ker${\displaystyle A}$ es el vector nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Dada una matriz ${\displaystyle A}$ de tamaño ${\displaystyle 2\times 2}$ con determinante no nulo entonces

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$

y esta está definida siempre y cuando ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ con ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$. Así por ejemplo la inversa de la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}},}$

ya que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

Dada una matriz ${\displaystyle A}$ de tamaño ${\displaystyle 3\times 3}$ con determinante no nulo:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}$

donde se definen

${\displaystyle {\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}}$

Sea ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ una matriz de rango máximo

• La matriz inversa de ${\displaystyle A}$ es única.
• Si ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ y ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ entonces la matriz inversa del producto ${\displaystyle BC}$ es

${\displaystyle \left(BC\right)^{-1}={C}^{-1}{B}^{-1}}$

• Si la matriz ${\displaystyle A}$ es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir

${\displaystyle \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}}$

• Y, evidentemente:

${\displaystyle \left((A^{-1})^{-1}\right)=A}$

• Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A)\ }$

donde ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$ es el determinante de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle \operatorname {adj} {(A)}\ }$ es la matriz de adjuntos de ${\displaystyle A}$, entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​^[5]​ en el artículo matriz de adjuntos).

• El conjunto de matrices de ${\displaystyle n\times n}$ con componentes sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbf {K} }$ que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$ de orden ${\displaystyle n}$. En este grupo la operación de inversa es un automorfismo ${\displaystyle (\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$.

Supongamos que ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle C}$ son inversas de ${\displaystyle A}$

${\displaystyle AB=BA=I,\quad {\text{y}}\quad AC=CA=I}$

Multiplicando ambas relaciones por ${\displaystyle C}$

${\displaystyle (BA)C=IC=C,\quad {\text{y}}\quad (BA)C=B(AC)=BI=B}$

De modo que ${\displaystyle B=C}$ y se prueba que la inversa es única.

Se probará la doble implicación.

Supongamos que existe ${\displaystyle B}$ tal que ${\displaystyle AB=BA=I}$. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

${\displaystyle \det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right).}$

Utilizando la propiedad multiplicativa del determinante y sabiendo que ${\displaystyle \det(I)=1}$ tenemos que

${\displaystyle \det \left(A\right)\det \left(B\right)=1,}$

por lo que deducimos que ${\displaystyle \det(A)}$ es distinto de cero.

Supongamos que el determinante de ${\displaystyle A}$ es distinto de cero. Sea ${\displaystyle a_{ij}}$ el elemento ij de la matriz ${\displaystyle A}$ y sea ${\displaystyle A_{ij}}$ la matriz ${\displaystyle A}$ sin la fila ${\displaystyle i}$ y la columna ${\displaystyle j}$ (comúnmente conocida como ${\displaystyle j}$-ésimo menor de A). Entonces tenemos que

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).}$

Además, si ${\displaystyle k\neq j}$, entonces podemos deducir que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0,}$

pues la parte izquierda de la relación es el determinante de ${\displaystyle A}$ con la columna ${\displaystyle j}$ sustituida por la columna ${\displaystyle k}$ y, de nuevo por propiedades del determinante, sabemos que una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.

De las dos ecuaciones anteriores podemos obtener

${\displaystyle \delta _{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}.}$

donde ${\displaystyle \delta _{jk}}$ es la delta de Kronecker.

Por tanto, sabiendo que ${\displaystyle (I)_{ij}=\delta _{ij}}$ tenemos que

${\displaystyle \det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)A,}$

es decir, que ${\displaystyle A}$ tiene inversa por la izquierda

${\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}.}$

Como ${\displaystyle \left({\text{adj}}(A)\right)^{T}={\text{adj}}\left(A^{T}\right)}$, entonces ${\displaystyle A^{T}}$ también tiene inversa por la izquierda que es

${\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A^{T})\right)^{T}}{\det \left(A^{T}\right)}}={\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}.}$

Entonces

${\displaystyle {\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}A^{T}=I,}$

luego, aplicando la transpuesta

${\displaystyle A{\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}=I,}$

que es lo que se quería demostrar.

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:^[6]​

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$

Esto es posible siempre y cuando ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$, es decir, el determinante de la matriz no es cero.

Ejemplo numérico:

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},\ C^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{bmatrix}\,\,\,\,\,4&-2\\-3&\,\,\,\,\,1\end{bmatrix}}}$

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ \operatorname {adj} (A)\ }$

Donde ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$ es el determinante de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle \ \operatorname {adj} {(A)}\ }$ es la matriz de adjuntos de ${\displaystyle A}$.

Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

El conjunto de todas las matrices ${\displaystyle n\times n}$ que admiten inversa es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado como ${\displaystyle {\textrm {GL}}(n)}$. Este grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física. Además ${\displaystyle {\textrm {GL}}(n)\subset M_{n\times n}}$ es un conjunto abierto (con la topología inducida de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$).

• Matriz involutiva

• Ejercicios resueltos de matrices inversas
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Matriz invertible», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .