Convenio de suma de Einstein

Se denomina convenio de suma de Einstein, notación de Einstein o notación indexada a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el que se suprime el símbolo de sumatorio representado con la letra griega sigma - ${\displaystyle \Sigma }$. Fue introducido por Albert Einstein en 1916.^[1]​ Es aplicado en física, en especial a los desarrollos realizados en Física avanzada. El convenio se aplica sólo a sumatorios sobre índices repetidos. Es usado especialmente con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería tedioso escribir explícitamente los símbolos de los sumatorios.

Dada una expresión lineal en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ en la que se escriben todos sus términos de forma explícita:

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}x_{1}+u_{2}x_{2}+u_{3}x_{3}+\cdots +u_{n}x_{n}}$

esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio:

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u_{i}x_{i}}$

La notación de Einstein obtiene una expresión aún más condensada eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante un índice indica la suma sobre todos los posibles valores del mismo.^[2]​

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{i}x_{i}}$

Un índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que las siguientes expresiones son válidas:

${\displaystyle k_{i}x_{i}\!}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=v_{ij}x_{j}}$

${\displaystyle c_{ijk}e_{i}e_{j}e_{k}\!}$

${\displaystyle {\frac {\partial {f}}{\partial {y_{j}}}}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}$

y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas:^[3]​

${\displaystyle x_{i}y_{i}z_{i}\!}$

${\displaystyle a_{m}x_{mj}y_{mk}\!}$

en cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente expresión en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

${\displaystyle \mathbf {} a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}}$

Un índice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se conoce como índice mudo, por ejemplo:^[4]​

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{i}e_{i}\!}$

Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a excepción de los términos constantes se conoce como índice libre.^[2]​

${\displaystyle s_{r}=a_{r}x_{i}+b_{r}x_{j}+c_{r}-1\!}$

Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan un sistema de ecuaciones independientes.

${\displaystyle s_{1}=a_{1}x_{i}+b_{1}x_{j}+c_{1}-1\!}$

${\displaystyle s_{2}=a_{2}x_{i}+b_{2}x_{j}+c_{2}-1\!}$

${\displaystyle s_{3}=a_{3}x_{i}+b_{3}x_{j}+c_{3}-1\!}$

Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se puede, por ejemplo, poner superíndices para representar elementos en una columna y subíndices para representar elementos en una fila. Siguiendo esta convención, entonces,

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{i}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\cdots &u_{n}\end{bmatrix}}\ \ \mathrm {para} \ \ i=1,2,3,\ldots ,n}$

representa 1 x n vector fila y

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{j}={\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\ \ \mathrm {para} \ \ j=1,2,3,\ldots ,n}$

representa n x 1 vector columna.

En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los vectores fila representan vectores covariantes mientras que los vectores columna representan vectores contravariantes.

Empleando la notación estándar, se puede generar una matriz M × N denominada A mediante multiplicación de vectores columna v por vectores fila u:

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} }$

En la notación de Einstein, se tiene que:

${\displaystyle A_{j}^{i}=v^{i}u_{j}=(v\otimes u)_{j}^{i}}$

Como i y j representan dos índices diferentes y en este caso con dos rangos diferentes M y N respectivamente, los índices no son eliminados en la multiplicación. Ambos índices sobreviven a la multiplicación para llegar a crear una nueva matriz A.

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• Cálculo tensorial
• Notación bra-ket

• Einstein, Albert (1916). «Los Fundamentos de la Teoría General de la Relatividad (Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie)». Annalen der Physik: 769-822.  (Texto en español)

• Rawlings, Steve (1 de febrero de 2007). Lecture 10 - Einstein Summation Convention and Vector Identities. Oxford University.  (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).

• ELEMENTOS DE MATEMATICAS. 9 de febrero de 2012.