Simetría conforme

En física teórica, la simetría conforme es la propiedad de algunas teorías físicas de ser invariantes bajo una transformación conforme, una transformación que no altera la medida de los ángulos.

Una transformación conforme es un difeomorfismo o «cambio de coordenadas» que transforma la métrica del espacio en un múltiplo de sí misma. En coordenadas locales, vienen dadas por una transformación de coordenadas x → y(x) tal que:

${\displaystyle g'_{\mu \nu }(y)={\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial y^{\mu }}}{\frac {\partial x^{\rho }}{\partial y^{\nu }}}g_{\sigma \rho }(x)=\Omega (x)g_{\mu \nu }(y)\,,}$

donde Ω es una función estrictamente positiva. El grupo de todas las transformaciones conformes es el grupo conforme. Las isometrías, las transformaciones que conservan la métrica, son transformaciones conformes para las que Ω vale exactamente 1. Las transformaciones conformes conservan ángulos.

En particular, en un espacio euclídeo o minkowskiano, la transformación x → λ·x donde λ es una constante positiva, denominada «de escala» o dilatación, es una transformación conforme con Ω constante e igual a λ². Sin embargo el grupo conforme contiene otras transformaciones, como las transformaciones conformes especiales:

${\displaystyle {\vec {x}}\to {\frac {{\vec {x}}-{\vec {a}}\cdot x^{2}}{1-2{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+a^{2}x^{2}}}\,,}$

donde a es un vector arbitrario.

Campo escalar

La acción de campo escalar sin masa en el espacio de Minkowski es:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int d^{n}x\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi }$

Dada una transformación conforme f, el valor de la acción para no cambia al sustituir φ(x) por φ^f(x), donde la forma precisa de φ^f(x) para una isometría Λ o una dilatación λ es:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi ^{\Lambda }(x)=\varphi (\Lambda \cdot x)\\&\varphi ^{\lambda }(x)=\lambda ^{1-{\frac {n}{2}}}\varphi (\lambda \cdot x)\\\end{aligned}}}$

• Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980). Quantum Field Theory (en inglés). McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-032071-3.  Capítulo 13-2.

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Conformal symmetry» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.