En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido
de un grupo
es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento
y cada
, el elemento
está en
. Se denota
.
Definiciones equivalentes[editar]
Demostración |
1. 2. Como , entonces . Por tanto, . 2. 3. Es claro. 3. 4. Sea . Entonces, . Por tanto, y se tiene la igualdad. 4. 1. Sea y . .
Además, se tiene que . Por tanto, . |
Propiedades[editar]
y
son siempre subgrupos normales de
. Si éstos son los únicos subgrupos normales de
, se dice que
es simple. - Los subgrupos normales de cualquier grupo
forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son
y
, el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto. - Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
- Si
es de índice 2 (
) entonces
es normal en
. - El centro de un grupo es normal en el grupo.
Grupo cociente[editar]
Sea
un grupo y
. Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de
en
, y lo denotaremos
.
Podemos definir en
la operación
(esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).
- La proyección canónica
es un homomorfismo de grupos.
Grupos normales y homomorfismos[editar]
- Sean
y
grupos y sea
un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de
es normal en
:
. De hecho, un subgrupo
es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos
tal que
.
Referencias[editar]
Véase también[editar]