Teorema de Löb

En lógica matemática, el teorema de Löb establece que en una teoría con aritmética de Peano, para cualquier fórmula P, se puede demostrar que "si P es demostrable entonces P", entonces P es demostrable. O sea:

si ${\displaystyle T\vdash {\text{Dem}}(\#P)\rightarrow P}$, entonces ${\displaystyle T\vdash P}$

donde Dem(#P) significa que la fórmula con número de Gödel #P es demostrable en T.

El teorema de Löb debe su nombre a Martin Hugo Löb.

El teorema de Löb en la lógica demostrativa[editar]

La lógica demostrativa se abstrae de los detalles de las fórmulas utilizadas en los teoremas de incompletitud de Gödel expresando la demostrabilidad de P en el sistema dado en el lenguaje de la lógica modal, por medio de la modalidad ${\displaystyle \Box P}$.

Se puede formalizar el teorema de Löb mediante el axioma:

${\displaystyle \Box (\Box P\rightarrow P)\rightarrow \Box P}$,

Este axioma se conoce como el axioma GL, por Gödel-Löb. El mismo a veces es formalizado por medio de la siguiente regla de inferencia:

${\displaystyle {\frac {\Box P\rightarrow P}{\Box P}}}$

La lógica demostrativa GL que resulta de tomar la lógica modal K4 y agregarle el axioma GL es el sistema investigado con mayor intensidad en la lógica demostrativa.

Enlaces externos[editar]

El teorema de Löb en PlanetMath

Referencias[editar]

Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.