La série 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯.
Comportement asymptotique de la courbe lissée. L'ordonnée à l'origine de la droite est −1/2[ 1] . En mathématique , 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ , également écrit ∑ n = 1 ∞ n 0 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}} , ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}} ou simplement ∑ n = 1 ∞ 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1} , est une série divergente , ce qui signifie que la suite de ses sommes partielles ne converge pas vers une limite dans les nombres réels . La suite (1n ) est la suite géométrique de raison 1. À la différence de toutes les autres séries de raison rationnelle , la série géométrique de raison 1 {\displaystyle 1} avec la série de Grandi de raison − 1 {\displaystyle -1} , ne converge ni dans les réels, ni dans les nombres p -adiques pour certains p . Dans la droite réelle achevée ,
∑ n = 1 ∞ 1 = + ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty } puisque la suite des sommes partielles est croissante et non majorée .
Quand la somme de n 0 apparaît dans des applications physiques , elle peut parfois être interprétée, par régularisation zêta , comme la valeur en s = 0 de la fonction zêta de Riemann
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 1 − 2 1 − s ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s , {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,} Les deux formules données ci-dessus ne sont cependant pas valides en 0 ; on peut donc essayer le prolongement analytique de la fonction zêta de Riemann,
ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) , {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,} ce qui donne (sachant que Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} ) :
ζ ( 0 ) = 1 π lim s → 0 sin ( π s 2 ) ζ ( 1 − s ) = 1 π lim s → 0 ( π s 2 − π 3 s 3 48 + . . . ) ( − 1 s + . . . ) = − 1 2 . {\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}.\!} 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯