Droite de Newton

La droite de Newton est une droite reliant trois points particuliers liés à un quadrilatère plan qui n'est pas un parallélogramme.

La droite de Newton intervient naturellement dans l'étude du lieu des centres d'un faisceau tangentiel de coniques ; ce vocable désigne l'ensemble des coniques inscrites dans un quadrilatère donné.

Dans un quadrilatère convexe

La droite de Newton dans un quadrilatère convexe (ABCD), qui n'est pas un parallélogramme, est la droite qui relie les milieux E et F des diagonales du quadrilatère.

Cette droite contient aussi le point d'intersection K de ses bimédianes (GH) et (IJ) (les droites reliant les milieux des côtés opposés). De plus K est le milieu du segment [EF].

Si le quadrilatère admet un cercle inscrit, le centre de ce cercle est également sur la droite.

D'après le théorème de Pierre-Leon Anne, quel que soit le point P intérieur au quadrilatère (ABCD) qui est sur la droite de Newton du quadrilatère :

Aire (ABP) + Aire(CDP) = Aire (BCP) + Aire (ADP).

Dans un triangle

Dans un triangle, une ménélienne est une droite ne passant par aucun des sommets.

Dans un triangle ABC, une ménélienne (d), qui n'est parallèle à aucun des côtés, rencontre les droites latérales (BC), (CA) et (AB) respectivement aux points P, Q et R, distincts des sommets.

Soient I, J et K les milieux respectifs des segments [AP], [BQ] et [CR].

Alors les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton du triangle ABC associée à la transversale (d).

Deux cas de ménéliennes
La ménélienne (MN) rencontre les trois côtés du triangle ABC La ménélienne (MN) ne rencontre pas un des côtés du triangle ABC

Les quatre droites (AB), (AC), (BC) et (d) définissent un quadrilatère complet, admettant pour sommets les six points A, B, C, P, Q et R.

Les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton de ce quadrilatère complet^[1].

Références

↑ (en) Cătălin Barbu et Ion Pătraṣcu, « Some Properties of the Newton-Gauss Line », Forum Geometricorum, vol. 12,‎ 2012, p. 149–152 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)

Bibliographie

Jean-Louis Ayme, « La droite de Newton - Une nouvelle preuve » [archive] [PDF]
Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métriques, Calvage & Mounet (ISBN 978-2916352121)

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[1] (en) Cătălin Barbu et Ion Pătraṣcu, « Some Properties of the Newton-Gauss Line », Forum Geometricorum, vol. 12,‎ 2012, p. 149–152 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron

Droite de Newton

Dans un quadrilatère convexe

Dans un triangle

Références

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