En mathématiques et plus particulièrement en analyse , la fonction maximale de Hardy-Littlewood est un opérateur qui associe à toute fonction localement intégrable f en tout point x sur ℝn comme étant la borne supérieure des valeurs moyennes de |f | sur les boules centrées en x . La notion de fonction maximale est intervenue pour la première fois dans un article publié en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood [ 1] .
À toute fonction localement intégrable f ∈ L loc 1 ( R n ) {\displaystyle f\in \mathrm {L} _{\text{loc}}^{1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)} on peut associer la fonction maximale de Hardy-Littlewood M f : R n → [ 0 , + ∞ ] {\displaystyle Mf:\mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty ]} définie par
M f ( x ) = sup r > 0 1 λ n ( B ( x , r ) ) ∫ B ( x , r ) | f ( t ) | d λ n ( t ) {\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)} où B (x , r ) désigne la boule de ℝn centrée en x et de rayon r > 0 et λn désigne la mesure de Lebesgue sur ℝn .
La fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à toute fonction localement intégrable est semi-continue inférieurement. Démonstration
Il suffit de montrer que chacune des fonctions
x ↦ 1 λ n ( B ( x , r ) ) ∫ B ( x , r ) | f ( t ) | d λ n ( t ) {\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)} (pour r > 0 fixé) est semi-continue inférieurement, autrement dit, que
x ↦ ∫ B ( x , r ) | f ( t ) | d λ n ( t ) = ∫ 1 B ( x , r ) ( t ) | f ( t ) | d λ n ( t ) {\displaystyle x\mapsto \int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)=\int 1_{B(x,r)}(t)|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)} l'est.
Or cette application est même continue, par convergence dominée .
Cette fonction Mf n'est jamais intégrable , sauf si f = 0 . Il existe même f intégrable telle que Mf ne soit pas localement intégrable[ 2] . Pour toute application intégrable f sur ℝn et tout réel c > 0, on a λ n ( [ M f ≥ c ] ) ≤ 3 n ‖ f ‖ 1 c {\displaystyle \lambda _{n}\left([Mf\geq c]\right)\leq 3^{n}{\frac {\|f\|_{1}}{c}}} (donc Mf est finie presque partout ). Pour toute fonction réelle croissante F sur un intervalle réel [a , b ] on a, de façon analogue[réf. souhaitée] λ 1 ( [ G ≥ c ] ) ≤ 2 F ( b ) − F ( a ) c , pour G ( x ) = sup h ≠ 0 x + h ∈ [ a , b ] F ( x + h ) − F ( x ) h . {\displaystyle \lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq 2{\frac {F(b)-F(a)}{c}},{\text{ pour }}G(x)=\sup _{h\neq 0 \atop x+h\in [a,b]}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}.} Pour toute fonction réelle croissante continue F sur [a , b ] , λ 1 ( [ G ≥ c ] ) ≤ F ( b ) − F ( a ) c , {\displaystyle \lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq {\frac {F(b)-F(a)}{c}},} pour G étant l'une des quatre dérivées de Dini de F . Démonstrations
Première inégalité. Quitte à passer ensuite à la limite quand d → c – , il suffit de montrer que ∀ d > 0 , λ n ( [ M f > d ] ) ≤ 3 n ‖ f ‖ 1 / d {\displaystyle \forall d>0,\lambda _{n}\left([Mf>d]\right)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d} et pour cela, par régularité intérieure , de montrer que pour tout compact K inclus dans [Mf > d ] , λ n ( K ) ≤ 3 n ‖ f ‖ 1 / d . {\displaystyle \lambda _{n}(K)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d.} Pour tout point x de K , il existe un rayon rx > 0 tel que 1 λ n ( B ( x , r x ) ) ∫ B ( x , r x ) | f ( t ) | d λ n ( t ) > d . {\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)}}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)>d.} Par compacité, K est recouvert par un nombre fini de telles boules et l'on peut, d'après le lemme de recouvrement de Vitali dans le cas fini, choisir parmi elles des boules ( B ( x , r x ) ) x ∈ X {\displaystyle \left(B(x,r_{x})\right)_{x\in X}} disjointes telles que K ⊂ ⋃ x ∈ X B ( x , 3 r x ) . {\displaystyle K\subset \bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x}).} On a alors : λ n ( K ) ≤ λ n ( ⋃ x ∈ X B ( x , 3 r x ) ) ≤ ∑ x ∈ X λ n ( B ( x , 3 r x ) ) = 3 n ∑ x ∈ X λ n ( B ( x , r x ) ) ≤ 3 n d ∑ x ∈ X ∫ B ( x , r x ) | f ( t ) | d λ n ( t ) ≤ 3 n ‖ f ‖ 1 d {\displaystyle \lambda _{n}\left(K\right)\leq \lambda _{n}\left(\bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x})\right)\leq \sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,3r_{x})\right)=3^{n}\sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)\leq {\frac {3^{n}}{d}}\sum _{x\in X}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{1}}{d}}} car les boules sont disjointes. Deuxième inégalité. En procédant comme pour la première, il suffit de montrer que pour tout d > 0 et tout compact K inclus dans [ G > d ] , λ ( K ) ≤ 2 ( F ( b ) − F ( a ) ) / d . {\displaystyle \lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.} Pour tout point x de K , il existe un réel hx non nul tel que F ( x + h x ) − F ( x ) h x > d . {\displaystyle {\frac {F(x+h_{x})-F(x)}{h_{x}}}>d.} Notons alors, pour ε > 0 fixé, Jx l'intervalle fermé d'extrémités x + hx et x – εhx (choisi ainsi pour qu'il contienne x + hx et soit un voisinage de x ). Par compacité, K est recouvert par une famille finie ( J x ) x ∈ X {\displaystyle (J_{x})_{x\in X}} et l'on peut même, en enlevant des Jx superflus, supposer qu'un point n'appartient jamais à plus de deux d'entre eux (car si trois intervalles ont un point commun, l'un des trois est inclus dans la réunion des deux autres). On a alors : λ ( K ) ≤ ∑ x ∈ X λ ( J x ) = ( 1 + ε ) ∑ x ∈ X | h x | ≤ 1 + ε d ∑ x ∈ X | F ( x + h x ) − F ( x ) | ≤ 1 + ε d 2 ( F ( b ) − F ( a ) ) , {\displaystyle \lambda (K)\leq \sum _{x\in X}\lambda (J_{x})=(1+\varepsilon )\sum _{x\in X}|h_{x}|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}\sum _{x\in X}|F(x+h_{x})-F(x)|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}2(F(b)-F(a)),} la dernière inégalité étant due à la croissance de F et au fait que les Jx se chevauchent au plus par deux. Ainsi, ∀ ε > 0 , λ ( K ) ≤ 2 ( 1 + ε ) ( F ( b ) − F ( a ) ) / d donc λ ( K ) ≤ 2 ( F ( b ) − F ( a ) ) / d . {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\lambda (K)\leq 2(1+\varepsilon )(F(b)-F(a))/d\quad {\text{donc}}\quad \lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.} La troisième inégalité peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant [ 3] et se généraliser en utilisant le théorème de recouvrement de Vitali [ 4] .
En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel μ sur ℝn la fonction maximale M μ définie par :
M μ ( x ) = sup r > 0 μ ( B ( x , r ) ) λ n ( B ( x , r ) ) . {\displaystyle M\mu (x)=\sup _{r>0}{\frac {\mu \left(B(x,r)\right)}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}.} La propriété de semi-continuité inférieure et, si μ est finie , l'inégalité maximale, sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.
↑ (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood , « A maximal theorem with function-theoretic applications », Acta Mathematica , vol. 54, 1930 , p. 81–116 . ↑ (en) Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space , Jones & Bartlett, 2001 , 2e éd. , 588 p. (ISBN 978-0-7637-1708-7 , lire en ligne ) , p. 451-452 . ↑ (en) Terence Tao , An Introduction to Measure Theory , Providence, AMS , 2011 , 206 p. (ISBN 978-0-8218-6919-2 , lire en ligne ) , p. 130-131 . ↑ (en) Andrew M. Bruckner (en) , Judith B. et Brian S. Thomson, Real Analysis , 1997 , 713 p. (ISBN 978-0-13-458886-5 , lire en ligne ) , p. 264-266 .