Méthode de Ferrari

La méthode de Ferrari imaginée et mise au point par Ludovico Ferrari (1540) permet de résoudre par radicaux les équations du quatrième degré, c'est-à-dire d'écrire les solutions comme une combinaison d'additions, soustractions, multiplications, divisions, et racines carrées, cubiques et quartiques constituée à partir des coefficients de l'équation. Elle fournit pour les quatre solutions, sous une apparence différente, la même formule que celle des méthodes ultérieures de Descartes (1637) et de Lagrange (1770).

On ramène d'abord^[1] l'équation (en divisant par le coefficient dominant puis en translatant la variable de façon à éliminer le terme de degré 3) à une équation de la forme

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}$.

Le point central de la méthode^[2],[3] consiste à remplacer ensuite le monôme z⁴ par le polynôme (z² + λ)² – 2λz² – λ², paramétré par λ, et à trouver une valeur de λ convenable, qui permette d'écrire z⁴ + pz² + qz + r comme une différence de deux carrés donc, via une identité remarquable, comme un produit de deux polynômes du second degré.

Certains auteurs^[4],[5] préfèrent commencer par une complétion du carré, z⁴ + pz² = (z² + p/2)² – p²/4, ce qui leur permet de présenter la méthode de Ferrari avec un autre paramètre (u = λ – p/2^[6]), égal à la moitié de celui de Descartes et Lagrange (y = 2λ – p).

${\displaystyle {\begin{array}{rl}z^{4}+pz^{2}+qz+r&=(z^{2}+\lambda )^{2}-2\lambda z^{2}-\lambda ^{2}+pz^{2}+qz+r\\&=(z^{2}+\lambda )^{2}-\left[(2\lambda -p)z^{2}-qz+\lambda ^{2}-r\right].\end{array}}}$

Le terme (2λ – p)z² – qz + λ² – r, vu comme polynôme en z, s'écrit sous forme d'un carré si et seulement si son discriminant, q² – 4(2λ – p)(λ² – r), est nul.

On résout donc l'équation correspondante, appelée cubique résolvante (en) :

${\displaystyle 8\lambda ^{3}-4p\lambda ^{2}-8r\lambda +4rp-q^{2}=0}$,

en utilisant l'une des méthodes classiques de résolution d'une équation de degré 3.

En choisissant une solution λ₀, puis a₀, b₀ (éventuellement complexes) tels que :

${\displaystyle a_{0}^{2}=2\lambda _{0}-p\quad {\text{et}}\quad b_{0}=-{\frac {q}{2a_{0}}}}$,

l'équation initiale devient :

${\displaystyle (z^{2}+\lambda _{0})^{2}-(a_{0}z+b_{0})^{2}=0}$

ou encore :

${\displaystyle (z^{2}+a_{0}z+\lambda _{0}+b_{0})(z^{2}-a_{0}z+\lambda _{0}-b_{0})=0}$,

ce qui équivaut à l'annulation d'un des deux facteurs :

${\displaystyle z^{2}+a_{0}z+\lambda _{0}+b_{0}=0\quad {\text{ou}}\quad z^{2}-a_{0}z+\lambda _{0}-b_{0}=0}$.

Chacune de ces deux équations fournit deux valeurs pour z, soit quatre valeurs en tout.

Presque tous les auteurs excluent implicitement^[7] le cas où 2λ₀ – p est nul (qui conduirait à une division par a₀ = 0 dans la définition ci-dessus de b₀). Mais dans ce cas, q = 0 donc l'équation z⁴ + pz² + qz + r = 0 est simplement une équation bicarrée^[8].

Pour des exemples, voir la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous) et ses exercices.

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