Module fidèle

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Un module M sur un anneau A est dit fidèle si son annulateur est réduit à {0}, en d'autres termes, si l'action de chaque ${\displaystyle \alpha \in A\setminus \{0\}}$ est non triviale (${\displaystyle \alpha \cdot x\neq 0}$ pour un certain ${\displaystyle x\in M}$). Autrement dit, un module est fidèle si la représentation associée ${\displaystyle \psi :A\to \operatorname {End} (M)}$ est injective.

À chaque module, on peut associer un module fidèle en procédant de cette manière. Le morphisme d'anneaux ${\displaystyle \psi :A\to \operatorname {End} (M)}$ se factorise en un morphisme injectif ${\displaystyle {\tilde {\psi }}:A/\ker \psi \to \operatorname {End} (M)}$. Comme ${\displaystyle \ker \psi }$ n'est autre que Ann(M), ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ donne à M une structure de ${\displaystyle A/\operatorname {Ann} (M)}$-module, et cette fois M est fidèle puisque ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ est injective.

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