Moyenne contre-harmonique

En mathématiques, une moyenne contre-harmonique est une fonction complémentaire de la moyenne harmonique. La moyenne contre-harmonique est un cas particulier de la moyenne de Lehmer, ${\displaystyle L_{p}}$, où p = 2.

La moyenne contre-harmonique d'un ensemble de nombres positifs est définie comme la moyenne arithmétique des carrés des nombres divisée par la moyenne arithmétique des nombres :$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {C} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)&={{1 \over n}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right) \over {1 \over n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)},\\[3pt]&={{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}}.\end{aligned}}}$$

Il est facile de montrer que la moyenne contre-harmonique satisfait les propriétés caractéristiques d'une moyenne d'une liste de valeurs ${\textstyle \mathbf {x} }$ :

• ${\displaystyle \min \left(\mathbf {x} \right)\leq \operatorname {C} \left(\mathbf {x} \right)\leq \max \left(\mathbf {x} \right)}$
• pour tout t > 0, ${\displaystyle \operatorname {C} \left(t\cdot \mathbf {x} _{1},t\cdot \mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,t\cdot \mathbf {x} _{n}\right)=t\cdot C\left(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,\mathbf {x} _{n}\right)}$

La première propriété implique la propriété du point fixe, que pour tout k > 0,

${\displaystyle \operatorname {C} \left(k,k,...,k\right)=k}$

La moyenne contre-harmonique a une valeur supérieure à la moyenne arithmétique et également supérieure à la moyenne quadratique :$${\displaystyle \min(\mathbf {x} )\leq \operatorname {H} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {G} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {L} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {A} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {R} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {C} (\mathbf {x} )\leq \max(\mathbf {x} )}$$ où x est une liste de valeurs, H est la moyenne harmonique, G est la moyenne géométrique, L est la moyenne logarithmique, A est la moyenne arithmétique, R est la moyenne quadratique et C est la moyenne contre-harmonique. À moins que toutes les valeurs de x ne soient identiques, les inégalités sont dans le cas général strictes.

Le nom contre-harmonique peut être dû au fait que lorsque l'on prend la moyenne de seulement deux variables, la moyenne contre-harmonique est autant supérieure à la moyenne arithmétique que la moyenne arithmétique n'est supérieure à la moyenne harmonique (c'est-à-dire que la moyenne arithmétique des deux variables est égale à la moyenne arithmétique de leur moyenne harmonique et contre-harmonique).

D'après les formules de la moyenne arithmétique et de la moyenne harmonique de deux variables, on a : $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {A} (a,b)&={{a+b} \over 2}\\\operatorname {H} (a,b)&={1 \over {{1 \over 2}\cdot {\left({1 \over a}+{1 \over b}\right)}}}={{2ab} \over {a+b}}\\\operatorname {C} (a,b)&=2\cdot A(a,b)-H(a,b)\\&=a+b-{{2ab} \over {a+b}}={{(a+b)^{2}-2ab} \over {a+b}}\\&={{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\end{aligned}}}$$ Notons que pour deux variables, la moyenne arithmétique des moyennes harmonique et contre-harmonique est exactement égale à la moyenne arithmétique (comme vu précédemment) :

${\displaystyle \operatorname {A} (\operatorname {H} (a,b),\operatorname {C} (a,b))=\operatorname {A} (a,b)}$

Quand a tend vers 0, H(a, b) tend également vers 0. La moyenne harmonique est très sensible aux faibles valeurs. En revanche (et symétriquement), la moyenne contre-harmonique est sensible aux valeurs plus grandes, donc lorsque a tend vers 0 alors C(a, b) tend vers b (donc leur moyenne reste A(a, b)).

Il existe deux autres relations notables entre les moyennes à deux variables. Premièrement, la moyenne géométrique des moyennes arithmétique et harmonique est égale à la moyenne géométrique des deux valeurs :$${\displaystyle \operatorname {G} (\operatorname {A} (a,b),\operatorname {H} (a,b))=\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{2ab} \over {a+b}}\right)={\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{2ab} \over {a+b}}}}={\sqrt {ab}}=\operatorname {G} (a,b)}$$La deuxième relation est que la moyenne géométrique des moyennes arithmétique et contre-harmonique est la moyenne quadratique :$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {G} \left(\operatorname {A} (a,b),\operatorname {C} (a,b)\right)={}&\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\right)\\={}&{\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}}}={}{\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}\\[2pt]={}&\operatorname {R} (a,b)\end{aligned}}}$$La moyenne contre-harmonique de deux variables peut être construite géométriquement à l'aide d'un trapèze (cf. [1] ).

La moyenne contre-harmonique peut être construite sur un cercle similaire à la façon dont les moyennes pythagoriciennes de deux variables y sont construites. La moyenne contre-harmonique est le reste du diamètre sur lequel se situe la moyenne harmonique.

La moyenne contre-harmonique d'une variable aléatoire est égale à la somme de la moyenne arithmétique et de la variance divisée par la moyenne arithmétique^[1]. Puisque la variance est toujours positive, la moyenne contre-harmonique est toujours supérieure ou égale à la moyenne arithmétique.

Le rapport de la variance sur la moyenne arithmétique a été proposé comme statistique de test par Clapham^[2]. Cette statistique est la moyenne contre-harmonique moins un.

Elle est également liée à la statistique de Katz^[3]: $${\displaystyle J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}}$$où m est la moyenne arithmétique, s² la variance et n est la taille de l'échantillon.

J_n est asymptotiquement distribué normalement avec une moyenne de 0 et une variance de 1.

Le problème d'un échantillon biaisé par la taille a été discuté par Cox en 1969 sur un problème d'échantillonnage des fibres. L'espérance d'un échantillon biaisé en taille est égale à sa moyenne contre-harmonique^[4].

La probabilité qu'une fibre soit échantillonnée est proportionnelle à sa longueur. Pour cette raison, la moyenne habituelle de l'échantillon (moyenne arithmétique) est un estimateur biaisé de la vraie moyenne. Pour voir cela, considérez$${\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{m}}}$$où f(x) est la distribution réelle de la population, g(x) est la distribution pondérée par la longueur et m est la moyenne arithmétique de l'échantillon. Prendre l'espérance habituelle de la moyenne ici donne la moyenne contre-harmonique plutôt que la moyenne (arithmétique) habituelle de l'échantillon. Ce problème peut être surmonté en prenant à la place l'espérance de la moyenne harmonique (1/x). L'espérance et la variance de 1/x sont$${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{x}}\right]={\frac {1}{m}}}$$et une variance $${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\mathrm {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)}{nm^{2}}}}$$où E est l'opérateur d'espérance. Asymptotiquement E[1/x] est distribué normalement.

L'efficacité asymptotique de l'échantillonnage biaisé par la longueur dépend - par rapport à l'échantillonnage aléatoire - de la distribution sous-jacente. si f (x) est log normal, l'efficacité est de 1 tandis que si la population est distribuée gamma d'indice b, l'efficacité est de b/(b − 1) .

Cette distribution a été utilisée dans plusieurs domaines^[5],[6].

Elle a été utilisée dans l'analyse d'images^[7].

La moyenne contre-harmonique a été découverte par le mathématicien grec Eudoxe au IV^e siècle av. J.-C.

• Moyenne harmonique
• Moyenne de Lehmer
• Moyenne pythagoricienne

• Essay #3 - Some "mean" Trapezoids, de Shannon Umberger : [2]
• Construction de la moyenne contre-harmonique dans un trapèze : [3]
• Moyennes dans le trapèze : [4]
• Moyennes de nombres complexes : [5]
• Proofs without Words / Exercises in Visual Thinking, par Roger B. Nelsen, page 56, (ISBN 0-88385-700-6)
• (en) Eric W. Weisstein, « Pythagorean Means », sur MathWorld
• (en) Jussi Pahikkala, « On contraharmonic mean and Pythagorean triples », Elemente der Mathematik, vol. 65, n^o 2,‎ 2010, p. 62–67 (lire en ligne).

• Contraharmonic Proportion at PlanetMath.

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