Point à l'infini

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En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie et en topologie, on appelle point à l'infini un objet adjoint à l'espace que l'on veut étudier pour pouvoir plus commodément y définir certaines notions de limites « à l'infini », ou encore pour obtenir des énoncés plus uniformes, tels que « deux droites se coupent toujours en un point, situé à l'infini si elles sont parallèles ».

Introduction

La notion de point à l'infini^[1] apparait au XV^e siècle dans le cadre du développement des méthodes de la perspective conique, avec l'invention de la « costruzione abbreviata » d'Alberti.

L'utilisation de ces points par les géomètres des XVI^e et XVII^e siècles (par exemple Maurolico ou da Vignola en Italie, Stevin en Hollande, Desargues et Pascal en France), puis la systématisation de leur usage au XIX^e, a conduit à la création d'une discipline mathématique : la géométrie projective.

La généralisation du langage géométrique dans les mathématiques du XX^e siècle, et la possibilité de compactifier les corps des réels et des complexes par l'ajout d'un élément à l'infini a conduit à son tour à l'utilisation de la terminologie « point à l'infini » dans d'autres branches des mathématiques que celles directement dérivées de la géométrie.

En géométrie projective

La notion de point à l'infini, et plus généralement, d'élément géométrique à l'infini (droite à l'infini, plan à l'infini, hyperplan à l'infini), n'est pas une notion purement projective, mais elle permet de passer de l'affine au projectif, et du projectif à l'affine, et a un sens dans un espace affine (droite, plan, etc.) complété en un espace projectif.

Ainsi

Une droite affine à laquelle on ajoute un point, dit alors point à l'infini, forme une droite projective.
Un plan affine auquel on ajoute une droite à l'infini forme un plan projectif. Dans un plan affine complété en un plan projectif, chaque droite projective a un et un seul point à l'infini. Celui-ci se trouve sur la droite à l'infini du plan projectif. Deux droites projectives ont le même point à l'infini si et seulement si, dans le plan affine, les deux droites affines correspondantes sont parallèles.
Un espace affine de dimension 3 auquel on ajoute (de façon analogue) un plan à l'infini (en) forme un espace projectif de dimension 3.
Ces notions peuvent être généralisées à des dimensions supérieures avec l'introduction de la notion d'hyperplan à l'infini (en).

Réciproquement en distinguant un point quelconque d'une droite projective, que l'on appelle alors point à l'infini, on obtient une droite affine (les autres points de la droite) ; en distinguant une droite quelconque d'un plan projectif, dite alors droite à l'infini, on obtient un plan affine (le plan sans cette droite, et les points de cette droite), et ceci se généralise à la dimension 3 et aux dimensions supérieures.

On peut développer la notion de point à l'infini sur tout corps commutatif infini :

Lorsque le corps de base est ℝ, la droite affine est la droite réelle usuelle. Cette droite augmentée du point à l'infini forme une courbe fermée, appelée « droite projective réelle » et notée P¹(ℝ) (voir croquis).

Lorsque le corps de base est ℂ, la droite affine est le plan complexe et la droite projective complexe est la sphère de Riemann P¹(ℂ).

La droite projective réelle P¹(ℝ) est la droite réelle complétée par un point à l'infini.
La droite projective complexe P¹(ℂ) est le plan complexe complété par un point à l'infini.