Projecteur (mathématiques)

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

une projection linéaire associée à une décomposition d'un espace vectoriel E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
une application linéaire idempotente : elle vérifie $p 2 = p$ .

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Définition de la projection vectorielle[modifier | modifier le code]

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : $\forall x\in E,\exists !(x',x'')\in F\times G,x=x'+x''$ . La projection sur F parallèlement à G est alors l'application^[1] :

{\begin{matrix}p:&E=F\oplus G&\rightarrow E\\&x=x'+x''&\mapsto x'.\end{matrix}}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent ( $p \circ p = p$ ), d'image $im(p) = F$ et de noyau $ker(p) = G$ . Cet endomorphisme est diagonalisable.

Identification des projecteurs et des projections[modifier | modifier le code]

On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant $p 2 = p$ . On vient de voir que toute projection est un projecteur. Réciproquement :

Théorème de caractérisation des projecteurs^[2] — Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur $im(p)$ parallèlement à $ker(p)$ , ces deux sous-espaces étant alors supplémentaires.

Projecteur associé à un autre projecteur[modifier | modifier le code]

La projection sur G parallèlement à F est l'application q = id – p, appelée aussi projecteur « associé » à p.

L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : $ker(p) = im(id - p)$ et $im(p) = ker(id - p)$ .

Projecteurs de même image[modifier | modifier le code]

Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si p ∘ r = r et r ∘ p = p.

Démonstration

Si p et r sont des projecteurs de même image alors p ∘ r = r (car p vaut l'identité sur Imp, or Imp = Imr) et de même, r ∘ p = p.
Réciproquement, si p ∘ r = r et r ∘ p = p alors p² = p ∘ (r ∘ p) = (p ∘ r) ∘ p = r ∘ p = p et imr = im(p ∘ r) ⊂ imp et de même, r² = r et imp ⊂ imr.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires[modifier | modifier le code]

Un espace vectoriel $E$ est somme directe de sous-espaces vectoriels $E_{1},\cdots ,E_{n}$ si et seulement s'il existe une famille de projecteurs $p_{i}:E\to E_{i}$ (pour $i\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$ ) vérifiant : $\operatorname {id} _{E}=p_{1}+\cdots +p_{n}$ et $p_{i}\circ p_{j}=0$ si $i \neq j$ .

Symétries[modifier | modifier le code]

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s² est l'identité (ne pas confondre avec « Endomorphisme symétrique »).

En caractéristique différente de 2, p est un projecteur si et seulement si 2p – id est une symétrie vectorielle.

La recherche des endomorphismes tels que p² = p, ou que s² = id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u) = 0 pour P polynôme et u endomorphisme ; voir l'article « Polynôme d'endomorphisme » pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Projection orthogonale dans un espace vectoriel préhilbertien.

Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si $\ker(p)=(\operatorname {im} (p))^{\perp }$ . On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptée[modifier | modifier le code]

Tout projecteur d'un espace de dimension finie est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0 (s'il n'est ni nul, ni l'identité).

En effet, si l'on note ${\mathcal {B}}=(e_{1},\ldots ,e_{r},e_{r+1},\ldots ,e_{n})$ une base de $E$ avec $e_{1},\ldots ,e_{r}$ des vecteurs de $im(p)$ et $e_{r+1},\ldots ,e_{n}$ des vecteurs de $ker(p)$ (ce qui est possible, car l'image et le noyau de $p$ sont supplémentaires), alors la matrice de $p$ dans cette base adaptée s'écrit :

\mathrm {Mat} _{\mathcal {B}}(p)={\begin{pmatrix}\mathbf {I} _{r}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} _{n-r}\end{pmatrix}}.

On a donc les propriétés suivantes :

sur la diagonale apparaissent uniquement des 1 et des 0, et le nombre de 1 est égal au rang du projecteur, ainsi qu'à sa trace ;
les autres coefficients sont nuls.

Utilité des projecteurs[modifier | modifier le code]

En géométrie projective[modifier | modifier le code]

En géométrie projective, un projecteur intervient. Considérons un exemple élémentaire : Soit $E=\mathbb {R} ^{3}{\text{ et }}\mathbb {R} P^{2}$ l'espace projectif associé. Soit $a\in \mathbb {R} P^{2}$ et $d=\pi ({\mathcal {P}})$ une droite projective ne passant pas par $a$ . Soit ${\hat {a}}$ un représentant de $a$ et soit $p$ la projection sur ${\mathcal {P}}$ parallèlement à $\mathbb {R} {\hat {a}}$ .

Ce projecteur permet de définir par passage au quotient la projection centrale $p_{a,d}$ , projection de centre $a$ sur la droite $d$ .

{\begin{matrix}E-\mathbb {R} {\hat {a}}&\displaystyle \xrightarrow {p} &E-\{0\}\\\pi \downarrow &&\pi \downarrow \\\mathbb {R} P^{2}-\{a\}&\displaystyle \xrightarrow {p_{a,d}} &\mathbb {R} P^{2}\end{matrix}}

Ce type de projection est un fondement important de la géométrie projective^[3].

En géométrie affine[modifier | modifier le code]

Les projections affines sont associées à des projecteurs linéaires.

En théorie des séries de Fourier[modifier | modifier le code]

Les coefficients de Fourier sont des composantes de projetés dans un espace fonctionnel adéquat^[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini, Mathématiques L1 : Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés, Paris, Pearson, 2012, 1073 p. (ISBN 978-2-7440-7607-7, lire en ligne), p. 451.
↑ La démonstration est courte : voir par exemple « Projecteurs » sur Wikiversité.
↑ Daniel Perrin, « Géométrie projective linéaire, ex 1.7.5 p30 et chapitre 2, p.33- », sur Université Paris-Saclay
↑ Serge Lang, Undergraduate analysis, Springer, 1997 (ISBN 0-387-94841-4, 978-0-387-94841-6 et 3-540-90800-5), chapitre XII, 291-

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[1] Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini, Mathématiques L1 : Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés, Paris, Pearson, 2012, 1073 p. (ISBN 978-2-7440-7607-7, lire en ligne), p. 451.

[2] La démonstration est courte : voir par exemple « Projecteurs » sur Wikiversité.

[3] Daniel Perrin, « Géométrie projective linéaire, ex 1.7.5 p30 et chapitre 2, p.33- », sur Université Paris-Saclay

[4] Serge Lang, Undergraduate analysis, Springer, 1997 (ISBN 0-387-94841-4, 978-0-387-94841-6 et 3-540-90800-5), chapitre XII, 291-

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[4]

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau