Somme de Gauss

• Si m est un entier premier à p, alors${\displaystyle G(\chi ,\psi ^{m})={\frac {1}{\chi (m)}}G(\chi ,\psi ).}$En effet, la définition d'une somme de Gauss implique :${\displaystyle G(\chi ,\psi ^{m})=\sum _{k\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (k)\psi (mk).}$Par le changement de variable u = mk, on a donc bien :${\displaystyle G(\chi ,\psi ^{m})=\sum _{u\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (m)^{-1}\chi (u)\psi (u)={\frac {1}{\chi (m)}}G(\chi ,\psi ).}$
• Si les deux caractères χ et ψ sont non triviaux, alors${\displaystyle G(\chi ,\psi )G(\chi ^{-1},\psi )=\chi (-1)p.}$En effet, la définition d'une somme de Gauss implique :${\displaystyle G(\chi ,\psi )G(\chi ^{-1},\psi )=\sum _{k,l\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (k)\psi (k)\chi (l)^{-1}\psi (l)=\sum _{k,l\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (kl^{-1})\psi (k+l).}$Par le changement de variable u = kl⁻¹, on obtient :${\displaystyle G(\chi ,\psi )G(\chi ^{-1},\psi )=\sum _{u\in F_{p}^{*}}\chi (u)\left(-1+\sum _{l\in \mathbb {F} _{p}}\psi ((u+1)l)\right).}$Or la somme des valeurs du caractère additif l ↦ ψ((u + 1)l) est nulle sauf lorsque ce caractère est trivial, c'est-à-dire lorsque u = –1. On en déduit :${\displaystyle G(\chi ,\psi )G(\chi ^{-1},\psi )=\left(-\sum _{u\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\chi (u)\right)+\chi (-1)p.}$De même, la somme des valeurs du caractère multiplicatif non trivial χ est nulle, ce qui termine la démonstration.

Soit ψ un caractère additif non trivial de F_p. Notons τ = G(μ, ψ) et ω = ψ(1). L'anneau ℤ[ω] contient τ ; calculons alors de deux façons la classe de τ^q–1 dans l'anneau quotient ℤ[ω]/qℤ[ω]. La formule du binôme de Newton et les diviseurs des coefficients binomiaux montrent que modulo q,

${\displaystyle \tau ^{q}\equiv \sum _{x\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\mu (x)^{q}\psi (x)^{q}=\sum _{x\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\mu (x)\psi ^{q}(x)=G(\mu ,\psi ^{q}).}$

Or la première des deux propriétés des sommes de Gauss montre que

${\displaystyle G(\mu ,\psi ^{q})=\mu (q)^{-1}\tau =\left({\frac {q}{p}}\right)\tau }$

et le corollaire de la seconde, joint aux propriétés du symbole de Legendre, que

${\displaystyle \tau ^{q-1}=\left(\tau ^{2}\right)^{\frac {q-1}{2}}=\left((-1)^{\frac {p-1}{2}}p\right)^{\frac {q-1}{2}}=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\equiv (-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}\left({\frac {p}{q}}\right){\pmod {q}}.}$

On en déduit la congruence :

${\displaystyle (-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}\left({\frac {p}{q}}\right)\equiv \left({\frac {q}{p}}\right){\pmod {q}}.}$

Puisque les deux membres sont égaux à 1 ou –1 et que 2 est inversible mod q, cette congruence est une égalité.

Soient ψ le caractère additif tel que ψ(1) = ω, H le sous-groupe du groupe multiplicatif F_p* composé des résidus quadratiques de F_p*, P₁ la somme des valeurs de ψ sur H et P₂ la somme des valeurs de ψ sur le complémentaire de H dans F_p*. L'application de F_p* dans H qui à tout élément associe son carré est une application surjective telle que toute image admet exactement deux antécédents ; en conséquence :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}\omega ^{k^{2}}=1+\sum _{x\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\psi (x^{2})=1+2P_{1}.}$

Or ψ est un caractère non trivial donc — comme dans la démonstration du § « Propriétés » — la somme 1 + P₁ + P₂ de ses valeurs est nulle, ce qui permet de conclure :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}\omega ^{k^{2}}=1+2P_{1}=-P_{2}+P_{1}=G(\mu ,\psi ).}$

Le corollaire du § « Propriétés » termine la démonstration.