Statistique de Bose-Einstein
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Aspect de | Distribution statistique des particules (en) |
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En mécanique quantique et en physique statistique, la statistique de Bose-Einstein désigne la distribution statistique de bosons indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre thermodynamique. La distribution en question résulte d'une particularité des bosons : les particules de spin entier ne sont pas assujetties au principe d'exclusion de Pauli, à savoir que plusieurs bosons peuvent occuper simultanément un même état quantique.
Distribution de Bose-Einstein
[modifier | modifier le code]La statistique de Bose-Einstein a été introduite par Satyendranath Bose en 1920 pour les photons et généralisée aux atomes par Albert Einstein en 1924. Statistiquement, à l'équilibre thermodynamique, le nombre ni de particules d'énergie Ei est
où :
- gi est la dégénérescence du niveau d'énergie Ei, à savoir le nombre d'états possédant cette énergie ;
- μ est le potentiel chimique ;
- kB est la constante de Boltzmann ;
- T est la température.
Entropie et dérivation dans l'ensemble microcanonique
[modifier | modifier le code]L'entropie d'un système constitué par des bosons indiscernables, décrits par des fonctions d'onde symétriques (spin entier), peut être trouvée en utilisant la description statistique due à J. Willard Gibbs[1]. Elle vaut
où
kB | constante de Boltzmann, |
nj | nombre d'occupation (proportion de bosons dans un état d'énergie donné), |
Gj | nombre d'états possibles dans le groupe j (dégénérescence). |
Dans l'ensemble microcanonique, les variables thermodynamiques à l’équilibre sont obtenus par maximisation de l'entropie sous contrainte de respecter le nombre total de bosons et l'énergie totale . En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, α pour le nombre de particules et β pour l'énergie, la solution vérifie
La solution de ce système d'équations indépendantes est la distribution statistique de Bose-Einstein
On peut retrouver les valeurs de α et β à partir du premier principe de la thermodynamique. Donc, α = –μ β et β = (kBT)-1.
Limite classique et comparaison avec les fermions
[modifier | modifier le code]À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Bose-Einstein, comme la statistique de Fermi-Dirac qui régit les fermions, tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann. Aux basses températures, cependant, les deux statistiques diffèrent entre elles. Ainsi, à température nulle :
- avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons;
- avec la statistique de Fermi-Dirac, les niveaux de plus basse énergie contiennent chacun au plus gi fermions.
Condensat de Bose-Einstein
[modifier | modifier le code]Comme vu précédemment, la statistique de Bose-Einstein prévoit qu'à température nulle, toutes les particules occupent le même état quantique, celui de plus basse énergie. Ce phénomène est observable à l'échelle macroscopique et constitue un condensat de Bose-Einstein.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Entropie (bosons) » (voir la liste des auteurs).
- (en) Lev Landau et Evgueni Lifchits, Statistical Physics, Pergamon Press, (lire en ligne)
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- [Bose 1924] (de) Satyendra Nath Bose (trad. de l'anglais par Albert Einstein), « Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese » [« La loi de Planck et l'hypothèse des quanta de lumière »], Zeitschrift für Physik, vol. 26, , p. 178-181 (OCLC 4646217659, DOI 10.1007/BF01327326, Bibcode 1924ZPhy...26..178B, résumé, lire en ligne [PDF]) :
- [Bose 2005] Satyendra Nath Bose (trad. de l'allemand par Georges Frick), La loi de Planck et l'hypothèse des quantas de lumière, dans José Leite-Lopes et Bruno Escoubès (éd. et av.-prop.) (préf. de Jean-Marc Lévy-Leblond), Sources et évolution de la physique quantique : textes fondateurs, Les Ulis, EDP Sciences, hors coll., , 1re éd., 1 vol., XIV-316, ill., fig., graph. et portr., 16 × 24 cm (ISBN 2-86883-815-4, EAN 9782868838155, OCLC 80146859, BNF 39987077, SUDOC 094109842, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 3, sect. 3.1, art. VIII [« La statistique des bosons »], p. 85-88.
- [Einstein 1924] (de) Albert Einstein, « Quantentheorie des einatomigen idealen Gases » [« Théorie quantique du gaz parfait monoatomique »], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, , p. 261-267.
- [Einstein 1925a] (de) Albert Einstein, « Quantentheorie des einatomigen idealen Gases : zweite Abhandlung » [« Théorie quantique du gaz parfait monoatomique : deuxième mémoire »], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, , p. 3-14.
- [Einstein 1925b] (de) Albert Einstein, « Zur Quantentheorie des idealen Gases » [« Théorie quantique du gaz parfait »], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, , p. 18-25.
Articles connexes
[modifier | modifier le code]- Autres distributions statistiques en physique statistique :
- en mécanique quantique : Statistique de Fermi-Dirac et Anyon
- en mécanique classique : Statistique de Maxwell-Boltzmann
- Fonction de Bose
- Physique quantique
- Physique statistique