Distribuzione lognormale

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Distribuzione lognormale
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$
Supporto	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}{\sigma }x}}}$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\text{erf}}\left({\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$
Valore atteso	${\displaystyle e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}$
Mediana	${\displaystyle e^{\mu }\ }$
Moda	${\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}$
Varianza	${\displaystyle e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}}$
Curtosi	${\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\mu +{\frac {1}{2}}\log(2\pi \sigma ^{2})}$
Manuale

In teoria delle probabilità la distribuzione lognormale, o log-normale, è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ il cui logaritmo ${\displaystyle \log X}$ segue una distribuzione normale.

Questa distribuzione può approssimare il prodotto di molte variabili aleatorie positive indipendenti.

Viene utilizzata anche in matematica finanziaria.

La variabile aleatoria ${\displaystyle X=e^{N}}$ segue la distribuzione lognormale ${\displaystyle \log {\mathcal {X}}(\mu ,\sigma ^{2})}$se e solo se ${\displaystyle N=\log X}$ segue la distribuzione normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$.

La sua funzione di densità di probabilità è

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{x{\sqrt {2\pi }}{\sigma }}}}$ per ${\displaystyle x>0}$.

La funzione di ripartizione della distribuzione lognormale è

${\displaystyle F(x)=\Phi _{(\mu ,\sigma )}(\ln x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\text{erf}}\left({\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$

dove ${\displaystyle \Phi _{(\mu ,\sigma )}}$ è la funzione di ripartizione della distribuzione normale ed ${\displaystyle {\text{erf}}}$ è la funzione degli errori.

I momenti semplici della distribuzione possono essere dedotti dalla funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale di ${\displaystyle N=\log X}$

${\displaystyle \mu _{n}(X)=E[X^{n}]=E[e^{nN}]=g_{N}(n)=e^{n\mu +n^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}$.

In particolare si trovano

• la speranza matematica

${\displaystyle E[X]=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}$

• e la varianza

${\displaystyle {\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}=e^{2\mu }(e^{2\sigma ^{2}}-e^{\sigma ^{2}})=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)}$.

I parametri ${\displaystyle (\mu ,\sigma ^{2})}$ possono essere ricavati dalla speranza e dalla varianza, utilizzando la relazione ${\displaystyle {\tfrac {{\text{Var}}(X)}{E[X]^{2}}}=e^{\sigma ^{2}}-1}$.

Gli indici di asimmetria e curtosi sono

${\displaystyle \gamma _{1}=(e^{\sigma ^{2}}+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}}$ e ${\displaystyle \gamma _{2}=e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6}$.

La moda della distribuzione è ${\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}$.

La mediana è ${\displaystyle q_{1/2}=e^{\mu }}$ e si trova immediatamente tramite la mediana ${\displaystyle \mu }$ di ${\displaystyle N=\log X}$: ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}=P(N\leqslant \mu )=P(X=e^{N}\leqslant e^{\mu })}$.

Se ${\displaystyle X}$ è una variabile aleatoria con distribuzione lognormale ${\displaystyle \log {\mathcal {N}}(e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}},e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1))}$ allora

• ${\displaystyle N=\log X}$ segue la distribuzione normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$.

Per ogni trasformazione lineare (invertibile)

• ${\displaystyle aN+b}$ segue ancora una distribuzione normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})}$
• ${\displaystyle e^{aN+b}=e^{b}X^{a}}$ segue una distribuzione lognormale ${\displaystyle \log {\mathcal {N}}(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})}$.

In particolare seguono una distribuzione lognormale

• i multipli scalari ${\displaystyle cX}$,
• le potenze ${\displaystyle X^{a}}$
• e l'inverso ${\displaystyle X^{-1}}$ di ${\displaystyle X}$.

Per la definizione di distribuzione lognormale non è importante che venga scelto il logaritmo naturale, ovvero la base e: due distinti logaritmi ${\displaystyle \log _{a}X}$ e ${\displaystyle \log _{b}X}$ differiscono soltanto di un fattore ${\displaystyle {\tfrac {\log a}{\log b}}}$.

La distribuzione lognormale svolge un ruolo simile a quello della distribuzione normale, la quale può fornire un'approssimazione per la somma di "molte" variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle X_{1},...X_{n}}$ aventi una stessa distribuzione (teorema del limite centrale). Se le ${\displaystyle X_{i}}$ sono positive allora la distribuzione lognormale può fornire un'approssimazione per il loro prodotto (così come la distribuzione normale può fornire un'approssimazione per la somma dei loro logaritmi, ${\displaystyle \textstyle \log(\prod _{i}X_{i})=\sum _{i}\log(X_{i}}$).

• Distribuzione normale

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Distribuzione lognormale

• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione lognormale, su MathWorld, Wolfram Research.

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