k-spazio

Il k-spazio è un formalismo matematico introdotto nel 1983 per spiegare in maniera semplice e univoca la formazione dell'immagine nell'imaging a risonanza magnetica.

Immagine come appare nello spazio "reale"

Immagine come appare nel k-spazio (modulo del dominio trasformato secondo Fourier)

Tale formalismo dimostra che il segnale di risonanza magnetica demodulato ${\displaystyle S(t)}$ generato dagli spin nucleari che si muovono secondo un moto di precessione nella presenza di un campo magnetico che varia linearmente nello spazio (gradiente ${\displaystyle G}$), è uguale alla trasformata di Fourier della densità effettiva degli spin ${\displaystyle \rho _{\mathrm {eff} }\ }$, cioè

${\displaystyle S(t)={\tilde {\rho }}_{\mathrm {eff} }({\vec {k}}(t))\equiv \int d^{3}x\ \rho ({\vec {x}})\cdot e^{2\pi \imath \ {\vec {k}}(t)\cdot {\vec {x}}}}$

dove:

${\displaystyle {\vec {k}}(t)\equiv \int _{0}^{t}{\vec {G}}(t')\ dt'}$

In altre parole, con il passare del tempo il segnale segue una traiettoria nel k-spazio con un vettore velocità proporzionale al vettore del gradiente di campo magnetico applicato.

Con l'espressione densità di spin effettiva, si intende la densità di spin reale ${\displaystyle \rho ({\vec {x}})}$ corretta per gli effetti dei decadimenti ${\displaystyle T_{1}}$ e ${\displaystyle T_{2}}$, della perdita di coerenza di fase dovuta alle inomogeneità del campo, del flusso, della diffusione e di ogni altro fenomeno che modifica la quantità di magnetizzazione trasversa disponibile alla bobina ricevente.

Dalla formula fondamentale vista sopra, segue immediatamente che si può ricostruire un'immagine ${\displaystyle I({\vec {x}})}$ semplicemente prendendo la trasformata di Fourier inversa dei dati acquisiti, cioè:

${\displaystyle I({\vec {x}})=\int d^{3}k\ S({\vec {k}}(t))\cdot e^{-2\pi \imath \ {\vec {k}}(t)\cdot {\vec {x}}}}$

${\displaystyle {\vec {x}}}$ e ${\displaystyle {\vec {k}}}$ sono variabili coniugate rispetto alla trasformata di Fourier, quindi si può usare il teorema di Nyquist per dimostrare che l'intervallo tra due punti nel k-spazio determina l'estensione dell'area di cui viene fatto l'imaging (Field Of View) ed il valore massimo di k determina la risoluzione spaziale dell'immagine ricostruita:

${\displaystyle FOV\propto {\frac {1}{\Delta k}}\qquad \mathrm {Risoluzione} \propto |k_{\max }|}$, per ognuna delle tre direzioni spaziali (x, y e z).

Attraverso il formalismo del k-spazio, diversi concetti altrimenti complessi diventano semplici da comprendere. Per esempio, diventa chiaro il ruolo della codifica di fase. In una normale scansione spin echo o gradient echo, dove il gradiente di lettura (o readout) è costante (${\displaystyle G_{x}}$), una singola linea del k-spazio viene acquisita in una ripetizione della sequenza. Quando il gradiente di codifica di fase è zero, la riga acquisita è l'asse ${\displaystyle k_{x}}$. Quando un impulso di gradiente è aggiunto tra la eccitazione a radiofrequenza e l'inizio del gradiente di lettura, viene acquisita una riga più in alto o più in basso nel k-spazio, cioè si acquisisce una linea con ${\displaystyle k_{y}}$=costante.

Questo formalismo rende inoltre semplice il paragone tra diverse tecniche di scansione. Nell'echo-planar imaging (EPI) a singolo impulso, tutto il k-spazio è scandito in una volta, tramite una traiettoria sinusoidale, a zig-zag o a spirale. Quando le righe del k-spazio sono acquisite alternativamente in direzioni opposte, sono necessari alcuni accorgimenti nell'algoritmo ricostruttivo. Nell'EPI a impulsi multipli, e nelle tecniche di spin echo rapide (turbo spin echo), ad ogni eccitazione viene acquisito parte del k-spazio, e la sequenza viene ripetuta finché lo spazio acquisito non è sufficientemente completo.

Dal momento che i dati al centro del k-spazio rappresentano le frequenze spaziali più basse e quindi il contrasto dell'immagine, l'istante di acquisizione ${\displaystyle T_{E}}$ (echo time) determina principalmente la dipendenza del contrasto da ${\displaystyle T_{2}}$.

L'importanza del centro del k-spazio nella determinazione del contrasto finale dell'immagine può essere sfruttata in tecniche di imaging più avanzate. Una di queste tecniche è l'acquisizione a spirale: viene applicato un gradiente la cui direzione ruota nel tempo, il che causa una traiettoria che avanza a spirale dal centro verso la periferia. Per l'effetto dei decadimenti ${\displaystyle T_{2}}$ e ${\displaystyle T_{2}*}$, il segnale è massimo all'inizio dell'acquisizione, di conseguenza questo tipo di traiettoria migliora il rapporto contrasto-rumore rispetto ad una acquisizione convenzionale a zig-zag.

• Ljunggren S, A Simple Graphical Representation of Fourier-Based Imaging Methods, in J. Magn. Res., vol. 54, 1983, pp. 338-343.
• Twieg D, The k-trajectory formulation of the NMR imaging process with applications in analysis and synthesis of imaging methods., in Med Phys, vol. 10, n. 5, 1983, pp. 610-21, PMID 6646065.

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