ラプラス方程式

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ラプラス方程式" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2013年2月)

ラプラス方程式（ラプラスほうていしき、英: Laplace's equation）は、2階線型の楕円型偏微分方程式

∇²φ = Δφ = 0

である。ここで、∇² = Δ はラプラシアン（ラプラス作用素、ラプラスの演算子）である。なお、∇ についてはナブラを参照。ラプラス方程式は、発見者であるピエール＝シモン・ラプラスから名づけられた。ラプラス方程式の解は、電磁気学、天文学、流体力学など自然科学の多くの分野で重要である。ラプラス方程式の解についての一般理論はポテンシャル理論という一つの分野となっている。

R³ の場合に標準座標を用いてラプラス方程式を書くと次のようになる：

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\phi (x,y,z)+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}\phi (x,y,z)+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\phi (x,y,z)=0.}$

数学以外の自然科学の分野では、たとえば電荷分布のない一様な媒質中の静電ポテンシャルや、熱伝導など拡散方程式の定常な場合などがこの方程式で表される。ラプラス方程式には、時間に当たる変数 t が含まれていない。即ち、ラプラス方程式は、時間によって変化しない定常状態を表す偏微分方程式であると言える。時間を反映した変数がないので、ラプラス方程式には、初期条件はなく、境界条件だけが必要となる。

変数の数は任意有限個に拡張できる。n 変数の関数 φ = φ(x₁, x₂,..., x_n) に関する偏微分方程式

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}\phi +{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}\phi +\cdots +{\partial ^{2} \over \partial x_{n}^{2}}\phi =0}$

を一般にラプラス方程式と呼ぶ。同様に微分作用素

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}+\cdots +{\partial ^{2} \over \partial x_{n}^{2}}}$

をラプラシアンと呼ぶ。

ラプラシアンの固有値は、ある関数 u ≠ 0 について

${\displaystyle \triangle u=\lambda u}$

を満たすような λ である。これはヘルムホルツ方程式である。

• ラプラス変換
• グリーン関数
• アーンショーの定理
• 調和関数 - ラプラス方程式の解となる関数。
• フーリエ級数
• 派生する方程式
  • ヘルムホルツ方程式
  • 波動方程式
  • ポアソン方程式 - ラプラス方程式の右辺を関数 f(x, y, z) に置き換えた方程式 Δφ = f
• 調和微分形式

• 『ラプラス方程式』 - コトバンク

この項目は、解析学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

• 表示
• 編集

この項目は、物理学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:物理学／Portal:物理学）。

• 表示
• 編集