不足数

不足数（ふそくすう、英: deficient number）とは、その約数の総和が元の数の 2 倍より小さい自然数のことである。この不足数の定義は「その数自身を除く約数の総和が元の数より小さくなるような数」と同値である。

例えば、15 の約数の総和は 1 + 3 + 5 + 15 = 24 < 15 × 2 であるので 15 は不足数である。もしくは「15 の自身を除く約数の総和は 1 + 3 + 5 = 9 < 15 であるので 15 は不足数」と考えてもよい。約数関数を用いると σ(n) < 2n を満たす n が不足数である。不足数は無数に存在し、そのうち最小の数は 1 である。

不足数を 1 から小さい順に列記すると

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, …（オンライン整数列大辞典の数列 A005100）

全ての素数 p は約数の総和が σ(p) = 1 + p < 2p であるので不足数である。また、5 以上の素数 p を 2 倍した偶数 2p の約数の総和は σ(2p) = 1 + 2 + p + 2p < 2p × 2 となるので不足数である。素数は無数にあるので偶数の不足数も奇数の不足数も無数に存在する。また不足数や完全数の約数は全て不足数となる。

半素数は6を除き全て不足数。

σ(n) = 2n − 1 を満たす n は不足数であり、概完全数と呼ばれる。概完全数は無数にあり、そのうち最小の数は 1 であるが、2の冪 2^k (= 1, 2, 4, 8, …) の形をした数しか見つかっておらず他の形をした概完全数が存在するのかどうかは分かっていない。

• 完全数 - その数自身を除く約数の総和が元の数に等しい数
• 過剰数 - その数自身を除く約数の総和が元の数より大きい数
• 概完全数

• Weisstein, Eric W. "Deficient Number". mathworld.wolfram.com (英語).

表 話 編 歴 被整除性に基づいた整数の集合
概要	素因数分解 約数 単約数 約数関数 素因数 算術の基本定理
因数分解による分類	素数 合成数 半素数 矩形数 楔数 平方因子をもたない整数 多冪数 累乗数 アキレス数 滑らかな数（英語版） ハミング数（英語版） 粗い数（英語版） 異常数（英語版）
約数和による分類	完全数 概完全数 準完全数 倍積完全数 Hemiperfect number（英語版） ハイパー完全数 超完全数 単完全数（英語版） 擬似完全数 プラクティカル数 エルデシュ・ニコラス数（英語版）
約数が多いもの	過剰数 原始過剰数（英語版） 高度過剰数 超過剰数 巨大過剰数 高度合成数 優高度合成数（英語版） 不思議数
アリコット数列関連	アンタッチャブル数（英語版） 友愛数 (友愛三数（英語版）) 社交数 婚約数
位取り記法に基づくもの	Equidigital number（英語版） Extravagant number（英語版） Frugal number（英語版） ハーシャッド数 Polydivisible number（英語版） スミス数
その他	Arithmetic number（英語版） 不足数 Friendly number（英語版） Solitary（英語版） サブライム数 調和数 デカルト数（英語版） タウ数 超完全数