分位数

分位数（ぶんいすう）、分位点（ぶんいてん）、分位値（ぶんいち）、クォンタイル (英: quantile) は、統計の代表値の1種である。

実数 ${\displaystyle q\in [0,1]}$ に対し、q 分位数 (q-quantile) は、分布を ${\displaystyle q:1-q}$ に分割する値である。

ある種の正の整数 ${\displaystyle m}$ に対し、分布を ${\displaystyle m}$ 等分する ${\displaystyle m-1}$ 個の値、つまり、${\displaystyle i=1,\dotsc ,m-1}$ に対する ${\displaystyle i/m}$ 分位数を、m 分位数（ただし ${\displaystyle m}$ は漢数字）という。${\displaystyle i=1,\dotsc ,m-1}$ 番目の m 分位数を第 i m 分位数といい、また、${\displaystyle m}$ 等分された分布の ${\displaystyle k=1,\dotsc ,m}$ 番目の部分を、第 k m 分位、または単に第 k 分位という。

ただし、英語のquantileには、等分割する値（value）の意味と、そのようにして分割された群（group）の二つの意味がある^[1]。

${\displaystyle n}$ 個のデータ ${\displaystyle x}$ に対する q 分位数 ${\displaystyle Q_{q}}$ は、昇順にソートしたデータを ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \dotsb \leq x_{n}}$ とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{q}&=x(1-q+qn)\\x(t)&={\begin{cases}x_{t},&{\text{if }}t\in \mathbb {N} \\(\lceil t\rceil -t)x_{\lfloor t\rfloor }+(t-\lfloor t\rfloor )x_{\lceil t\rceil },&{\text{if }}t\notin \mathbb {N} \end{cases}}\end{aligned}}}$

と定義される。ここで、${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ は床関数、${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ は天井関数、${\displaystyle \mathbb {N} }$ は自然数の集合である。

関数 ${\displaystyle x(t),\ 1\leq t\leq n}$ は、数列 ${\displaystyle x_{1,\dotsc ,n}}$ の線形内挿数関数への拡張である。関数 ${\displaystyle x(\cdot )}$ の引数 ${\displaystyle 1-q+qn}$ は、範囲 ${\displaystyle [1,n]}$ を ${\displaystyle q:1-q}$ に内分している。

1次元確率分布 ${\displaystyle f(x)}$ に対する q 分位数 ${\displaystyle Q_{q}}$ は

${\displaystyle \int _{-\infty }^{Q_{q}}f(x)dx\geq q,\ \int _{Q_{q}}^{\infty }f(x)dx\geq 1-q}$

を満たす値として定義される。この式は、累積分布関数 ${\displaystyle F(x)}$ または確率 ${\displaystyle P(X)}$ を使って、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{Q_{q}}dF(x)\ \geq q,\ \int _{Q_{q}}^{\infty }dF(x)\ \geq 1-q}$

または

${\displaystyle P(X\leq Q_{q})\geq q,\ P(X\geq Q_{q})\geq 1-q}$

とも表せる^[2]。

いくつかの q に対する q 分位数には、特別な名称がある。

1 / 2 分位数を、中央値、メディアン (median)という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。

${\displaystyle q/4}$ 分位数を、第 q 四分位数、第 q 四分位点、第 q 四分位値、第 q ヒンジ (quartile, hinge) という。1 / 4 分位数（第1四分位数）を下側四分位数、3 / 4 分位数（第3四分位数）を上側四分位数ともいう^[3]。

単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布の統計的ばらつきを表すのに使う。

第1・第3四分位数の差 ${\displaystyle Q_{3/4}-Q_{1/4}}$ は、四分位範囲（英: interquartile range, IQR）といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差や分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。

${\displaystyle {\text{IQR}}/2}$ を四分位偏差、${\displaystyle {\text{IQR}}/{\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 0.7413~{\text{IQR}}}$ を正規四分位範囲（英: normalized interquartile range, NIQR）といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、${\displaystyle {\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 1.3490}$ は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位範囲は、標準偏差に等しい。なお係数0.7413を近似値として使うことがある。

四分位数の簡易な求め方として、中央値より上の値の中央値と、中央値より下の値の中央値を使う場合がある。この値を特にヒンジ (hinge) と呼び、それぞれ上側ヒンジ・下側ヒンジ、または、第1・第3ヒンジ（第2ヒンジは中央値）と呼ぶ。ヒンジは、（厳密に計算した）四分位数とは、中央値から離れる方向に少しだけずれる。データ数が多ければずれは小さくなる ^[要出典]。

${\displaystyle q/3}$ 分位数を、第 q 三分位数、第 q 三分位点、第 q 三分位値 (tertile) という。

${\displaystyle q/5}$ 分位数を、第 q 五分位数、第 q 五分位点、第 q 五分位値 (quintile) という。

${\displaystyle q/10}$ 分位数を、第 q 十分位数、第 q 十分位点、第 q 十分位値 (decile) という。

${\displaystyle q/100}$ 分位数を、q パーセンタイル、（第）q 百分位数、（第）q 百分位点、（第）q 百分位値、q パーセント点、q %点 (percentile) という。

${\displaystyle 1-q/100}$ 分位数を上側 q パーセント点という。これと対比するときには、${\displaystyle q/100}$ 分位数は下側 q パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、${\displaystyle 1/2+q/200}$ 分位数を両側 q パーセント点という。このとき、絶対値が両側 q パーセント点以内に、分布の q %が含まれている。

0分位数は最小値、1分位数は最大値である^[4]。最大値と最小値の差は範囲あるいはレンジ（英: range）と呼ばれ、分布のばらつきを表す代表値の一種である。

分布の特徴を最大値、最小値、中央値、上側・下側ヒンジの5つの値、つまり、0, 0.25, 0.5, 0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。

日本産業規格では、分位点を、「${\displaystyle p}$分位点とは，分布関数が ${\displaystyle p}$ に一致するか，又は${\displaystyle p}$より小さな値から ${\displaystyle p}$ より大きな値に飛ぶときの確率変数の値。確率${\displaystyle p}$ を ${\displaystyle 100p}$% で表すときは ${\displaystyle 100p}$ パーセント点 (100p percentile) という。備考1. 確率変数のある区間内で分布関数が一定値${\displaystyle p}$となる場合は，その区間内の任意の値が${\displaystyle p}$分位点とされる。ただし，${\displaystyle 0\leqq p\leqq 1}$である。 2. ${\displaystyle p=1/2}$に対応する確率変数の値をメディアン中央値 (median) という。3. ${\displaystyle p=1/4}$および${\displaystyle p=3/4}$に対応する確率変数の値を四分位点 (quartile) という。」と定義している^[5]。

• 西岡康夫『やさしく語る 確率統計』オーム社〈数学チュートリアル〉、2013年。ISBN 978-4-274-21407-3。https://books.google.co.jp/books?id=AUY2AgAAQBAJ。 

• Quartiles in Elementary Statistics 15種類の定義がされている

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	相関係数 ピアソンの積率相関係数 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 偏相関係数 その他 自己相関 空間的自己相関 相互相関 交絡変数 相関関係と因果関係 擬似相関 錯誤相関
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
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