時系列

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時系列（じけいれつ、英: time series）とは、ある現象の時間的な変化を、連続的に（または一定間隔をおいて不連続に）観測して得られた値の系列^[1]（一連の値）のこと。例えば、統計学や信号処理で時間経過に従って計測されるデータ列であり、（通常、一定の）ある時間間隔で測定される。均一間隔では無い場合は点過程と呼ぶ。

時系列解析や時系列分析はそのような時系列を解釈するための手法であり、データ列の背後にある理論（なぜそのような時系列になったのか？）を見出すか、予測を行うためのものである。時系列予測は、既知の過去の事象に基づいて将来のモデルを構築し、将来ありうべきデータポイントを測定前に予測することである。例えば、株式の過去の価格推移から将来の価格を予測することなどが挙げられる。

時系列分析では以下のような記述も使われる:

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}$

これは自然数でインデックスされた時系列 X を表している。

時系列データのモデルには様々な形式がある。古典的に有名な線形モデルとしては、自己回帰移動平均モデル（ARMA）があり、これは自己回帰モデル（autoregressive; AR）と移動平均モデル（moving average; MA）を組み合わせたものである。更に、和分モデル（integrated; I）を組み合わせた自己回帰和分移動平均モデル（ARIMA）がある。これらは過去のデータ列およびノイズに線形に依存している。過去のデータへの非線形な依存は、カオス的時系列を生む可能性があり、興味深い。

状態空間モデルとは、状態（観測不可能）を ${\displaystyle x_{t}}$、観測値（観測可能）を ${\displaystyle y_{t}}$、システムノイズ（状態遷移のノイズ）を ${\displaystyle v_{t}}$、観測ノイズを ${\displaystyle w_{t}}$ として、以下で時系列 ${\displaystyle y_{t}}$ を表現するモデル。^[2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{t}&=f_{t}(x_{t-1},v_{t})\\y_{t}&=h_{t}(x_{t},w_{t})\end{aligned}}}$

このモデルは粒子フィルタ（モンテカルロ法）を用いて、状態 ${\displaystyle x_{t}}$ の確率分布を求めることが出来る。関数 ${\displaystyle f_{t}}$ と ${\displaystyle h_{t}}$ には制限はないが、${\displaystyle h_{t}}$ は観測値から尤度（確率密度または確率質量）を逆算できることが必要。${\displaystyle x_{t}}$ や ${\displaystyle y_{t}}$ は実数ベクトルである必要は無く、任意のデータ構造で良い。

状態および観測値が実数の列ベクトル、関数 ${\displaystyle f_{t}}$ と ${\displaystyle h_{t}}$ が線形（行列の乗法）、システムノイズ ${\displaystyle v_{t}}$ と観測ノイズ ${\displaystyle w_{t}}$ が多変量正規分布に従う場合は、以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{t}&=F_{t}x_{t-1}+G_{t}v_{t}\\y_{t}&=H_{t}x_{t}+w_{t}\end{aligned}}}$

こちらは、状態 ${\displaystyle x_{t}}$ の確率分布（多変量正規分布）をカルマンフィルターにて厳密解を求められる。ARMA や ARIMA もこの線形モデルで扱うことが出来る。

時系列データを分析するツールには以下のようなものがある:

• 自己相関関数とスペクトル密度関数
• 周波数領域の系列の分析としてのフーリエ変換
• ノイズを除去するデジタルフィルタの使用
• 主成分分析（または経験直交関数分析）
• 人工ニューラルネットワーク
• 時間-周波数解析手法:
  • 連続ウェーブレット変換
  • 短時間フーリエ変換
  • Chirplet変換
  • 非整数次フーリエ変換
• カオス解析
  • 相関次元
  • リカレンスプロット
  • 再帰定量化分析
  • リアプノフ指数
• 状態空間モデル
  • カルマンフィルター、拡張カルマンフィルタ、アンサンブルカルマンフィルタ
  • 粒子フィルタ

任意の時刻と数値の連想配列は時系列とみなすことができる。その場合の時刻は必ずしも一定の間隔である必要はない。例えば、株式や商品先物の相場の履歴情報は、一種の時系列データである。

経営アナリストらは、ここで列挙したようなツールを駆使し、経営に役立てている。例えば、エネルギートレーダーは平年の天候と短期の天気予報に基づいて電力消費量を予測する。

1. ^ 広辞苑第五版【時系列】
2. ^ 北川源四郎『時系列解析入門』岩波書店、2005年、209頁。ISBN 4000054554。 
3. ^ 樋口知之『予測にいかす統計モデリングの基礎―ベイズ統計入門から応用まで』講談社、2011年、29頁。ISBN 4061557955。 

• 線形予測法
• 移動平均
• 予測区間
• システム同定
• 傾向推定
• R言語 -「時系列データ型」をデフォルトで備えたデータ解析用言語。
• ミッシングリンク
• 計量経済学#時系列計量経済学

• Advanced Signal Processing Toolkit - National Instruments 社の時系列解析用商用ソフトウェア

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	相関係数 ピアソンの積率相関係数 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 偏相関係数 その他 自己相関 空間的自己相関 相互相関 交絡変数 相関関係と因果関係 擬似相関 錯誤相関
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
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