有限変形理論

連続体力学において、有限変形理論（ゆうげんへんけいりろん、finite strain theory）は、物体（連続体）のひずみや回転が無限小ひずみ理論における前提では通用しないような deformationsである場合を扱う。本理論の対象となるような状態においては、連続体の状態は、変形の前後で大きく異なるので、変形前後を明確に区別する必要がある。対象としては、エラストマー、塑性変形材料などの流体、生物学で見られるような軟組織ケースである。有限変形理論は、物体の変形の理論の一つで、微小変形理論と並立する^[1]。微小変形理論と比較して、現実の現象をより忠実に再現しようとする理論である。この理論を用いて行われるモデル化が大変形解析であり、地盤沈下の解析にこの理論を用いる場合、沈下量が大きくなるほど微小変形理論を用いた場合との差異が大きくなる^[2]。

変形 (Displacement)[編集]

物体の変位は、剛体変位と変形の2つの要素から構成される。

• 剛体変位は、形状や大きさを変えずに、並進（物理）や回転を組み合わせた変位である。
• 変形は、初期状態（変形していない状態;${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$)から現在の状態（変形した状態; ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$）へ形状や大きさが変化することを意味する（Figure 1）。

連続体の配置の変化は 変位場 によって記述することができる。変位場とは、物体中のすべての粒子の変位ベクトルを集めたベクトル場であり、変形後の配置と変形前の配置を関連づける。任意の2つの粒子間の距離は、変形が起こった場合にのみ変化する。変形を伴わない変位は剛体変位と呼ばれる。

物質座標（ラグランジュ表記）[編集]

変数jでラベルされた粒子の変位は次のように表すことができる； 変形前の配置${\displaystyle P_{j}}$と変形後の配置${\displaystyle p_{j}}$における粒子の位置を結ぶベクトルをdisplacement vectorと呼ぶことにする。

${\displaystyle P_{j}}$の代わりに${\displaystyle \mathbf {X} }$を、${\displaystyle p_{j}}$の代わりに${\displaystyle \mathbf {x} }$を、いずれも座標系の原点から各点までのベクトルとして用いると、変位ベクトルのラグランジュ記述となる。即ち、

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$$

ここで、${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$は、空間座標系(lab-frame)をなす正規直交基底である。

物質座標で表すと（${\displaystyle \mathbf {u} }$ を、${\displaystyle \mathbf {X} }$の関数として表すと）、変位場は次のようになる；

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$

ここで、${\displaystyle \mathbf {b} (t)}$は剛体の並進を表す変位ベクトルである。

変位ベクトルの物質座標に対する偏微分から物質変形勾配テンソル（material displacement gradient tensor）${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$、以下のように求まる; $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}}$$

ここで${\displaystyle F}$は変形勾配テンソル（deformation gradient tensor）である。

空間座標（オイラー表記）[編集]

オイラー表記の連続体力学において、変形前の配置にある粒子${\displaystyle P}$から変形後の配置の位置まで伸びるベクトルを変位ベクトル（displacement vector)と呼ぶ;

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$$

ここで、${\displaystyle <\mathbf {E} _{i}>}$は物質座標系（ボディフレーム）の基底を定める単位ベクトルの組である。

空間座標で表現すると（つまり、${\displaystyle \mathbf {U} }$ を ${\displaystyle \mathbf {x} }$の関数として）変位場は次のようになる;

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

変位ベクトルを空間座標に関して偏微分すると、空間変位勾配テンソル${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}$が得られる。

このようにして我々は、以下を得る。 $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,.}$$

物質座標系と空間座標系の関係[編集]

${\displaystyle \alpha _{Ji}}$ は物質座標系の単位ベクトル${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$と 空間座標系の単位ベクトル${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$の間の方向余弦である。即ち、

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

${\displaystyle u_{i}}$ と ${\displaystyle U_{J}}$ の関係は以下で与えられる。

$${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

以下を踏まえると、 $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$ 以下を得る。 $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

変形した座標系と未変形の座標系を組み合わせる[編集]

変形と未変形の座標系を重ね合わせるのが一般的で、その結果${\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}$ となり、方向余弦はクロネッカーのデルタとなる、すなわち、 $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

したがって、物質座標（変形していない）では、変位は次のように表すことができる： $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

また、空間座標（変形している）では、変位は次のように表すことができる： $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

変形勾配テンソル (Deformation gradient tensor)[編集]

変形勾配テンソルは以下の式で表される。 $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$$ これは、基準の配置(configuration)と現在の配置の両方の単位ベクトル （${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$、${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$）を含むことからもわかるように、この両方に関連している。 従って、two-point tensorである。

${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$に対する連続性の仮定により、${\displaystyle \mathbf {F} }$は、逆関数、即ち${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$を持つ。この${\displaystyle \mathbf {H} }$は 空間変形勾配テンソル(spatial deformation gradient tensor) である。ここで、陰関数定理 ^[3]よれば、ヤコビアン（即ち、 ${\displaystyle |J(\mathbf {X} ,t)|}$） は非退化(即ち、${\displaystyle |J(\mathbf {X} ,t)|=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$）とならねばならない。

物質変形勾配テンソル(Material deformation gradient tensor) ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$は、２階テンソルであり、マッピング関数(mapping function) ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$の勾配を表す。これは、連続体の運動を記述するものである。 物質変形勾配テンソルは、ある位置ベクトル${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$で指示された物質上の点の近傍の局所的な変形を特徴付ける。 即ち、マッピング関数${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$に連続性を仮定して、その点から発せられる物質線要素を基準配置から現在の配置または変形後の配置に変換（線形変換）することによって、隣接する点での変形を行う。${\displaystyle \mathbf {X} }$ and time ${\displaystyle t\,\!}$と時間${\displaystyle t\,\!}$について微分可能性を仮定するが、これは、変形中に亀裂や空隙が開閉しないことを意味する。

このようにして、我々は以下を得る。 $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

相対変位ベクトル[編集]

変形していない構成（図2）において、位置ベクトル${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}}$を持つ粒子または物質点${\displaystyle P}$を考える。本体の変位後、新しい構成における${\displaystyle p}$で示される粒子の新しい位置は、位置ベクトル${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$で与えられる。このように、変形していない構成と変形した構成の座標系は、便宜上重ね合わせることができる。

ここで、${\displaystyle P\,\!}$に隣接する${\displaystyle Q}$という物質点を考える。Qのいちベクトルは、以下の通り。 ${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$.

変形された構成では、この粒子は、位置ベクトル ${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$ によって与えられる新しい位置${\displaystyle q}$を持つ。変形していない状態でも変形した状態でも、粒子${\displaystyle P}$と${\displaystyle Q}$を結ぶ線分${\displaystyle \Delta X}$と${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$はそれぞれ非常に小さいと仮定すると、${\displaystyle d\mathbf {X} }$と${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$と表すことができる。したがって、図2から、以下を得る。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}}$$

ここで、${\displaystyle \mathbf {du} }$は相対変位ベクトルであり、変形された構成における${\displaystyle P}$に対する${\displaystyle Q}$の相対変位を表す。

テイラー近似[編集]

無限小要素${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$に対して、変位場に連続性を仮定すると、高次の項を無視して点${\displaystyle P\,\!}$の周りのテイラー展開を用いて、隣接粒子${\displaystyle Q}$の相対変位ベクトルの成分を次のように近似することができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}}$$

従って、前述の方程式${\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} }$は次のように書ける。 $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

変形勾配の時間微分 (Time-derivative of the deformation gradient)[編集]

物体の時間依存変形を含む計算では，変形勾配の時間微分を計算する必要がある場合が多い． このような微分を幾何学的に矛盾なく定義するには微分幾何学に踏み込む必要があるが，この記事ではそのような問題を避ける^[4]．

${\displaystyle \mathbf {F} }$の時間微分は次のようになる。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$

ここで、${\displaystyle mathbf{V}}$は（物質）速度である。 右辺の導関数は物質速度勾配を表している。微分の連鎖律を適用して空間勾配に変換するのが一般的である、即ち、 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$

ここで、 ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}}$は'空間速度勾配('spatial velocity gradient) であり、${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$ は、${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$における空間（オイラー）速度である。 空間的な速度勾配が時間的に一定であれば、上式を正確に解くと次のようになる; $${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$ assuming ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$ at ${\displaystyle t=0}$. 上記の行列の指数を計算する方法はいくつかある。

連続体力学でよく使われる関連量として、変形率テンソルとスピンテンソルがあり、それぞれ次のように定義される： $${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$ 変形率テンソルは線要素の伸び率を与え、スピンテンソルは運動の回転率または渦度を示す。

有限ひずみを含む解析では、変形勾配の逆数の材料時間微分（基準形状を固定したまま）が必要になることがよくある。 この微分は$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$

${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$ and noting that ${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$ の物質的時間微分を取ることによって、上記の関係を検証することができる。

面要素と体積要素の変形[編集]

変形された構成における面積に対して定義される量を、基準構成における面積に対する量に変換するため、あるいはその逆の変換も同様に行うため、 $${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$ として表されるNansonの関係を使用する。ここで、${\displaystyle da}$は変形配置における領域の面積であり、${\displaystyle dA}$は参照配置における同じ領域の面積である。${\displaystyle \mathbf {n} }$は現構成における領域要素の外向き法線であり、${\displaystyle \mathbf {N} }$は参照構成における外向き法線、${\displaystyle \mathbf {F} }$は変形勾配であり、また${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$である。

体積要素の変換に対応する式は次の通りである。 $${\displaystyle dv=J~dV}$$

Nanson's relationの関係式の証明[編集]

see also ^[5]

この式がどのように導き出されるかを見るために、まず、基準コンフィギュレーションと現在のコンフィギュレーションにおける向き付けられた面積要素から始める： $${\displaystyle d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n} }$$ 要素の基準体積と現在の体積は次のとおりである。 $${\displaystyle dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} }$$ ここで、${\displaystyle d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!}$.

従って、 $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$ or, $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$ 従って, $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}}$$ 以上より、以下を得る $${\displaystyle d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A} }$$ or, $${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$

変形勾配テンソルの極分解[編集]

変形勾配テンソルの極分解（Polar decomposition of the deformation gradient tensor)に付いて説明する。

変形勾配 ${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$は、他の可逆2次テンソルと同様に、極性分解定理(polar decomposition theorem)を用いて2つの2次テンソルの積に分解できる (Truesdell and Noll, 1965): 即ち、$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$ となる。ここで、 ${\displaystyle \mathbf {R} }$ は proper orthogonal tensorである。 即ち ${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$ 及び ${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$, を満たし、回転を表す;

テンソル ${\displaystyle \mathbf {U} }$ は right stretch tensorである;

そして、テンソル ${\displaystyle \mathbf {V} }$ は left stretch tensorである。ここで、右と左という用語は、それぞれ、回転テンソル${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$の右と左にあるという意味である。

${\displaystyle \mathbf {U} }$ と ${\displaystyle \mathbf {V} }$ は、ともに positive definiteである。 即ち、

• ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$,
• ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$ (for all non-zero ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$) , で
• symmetric tensors, 即ち ${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$ and ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$, が二次である。

この分解は、未変形の配置における線要素${\displaystyle d\mathbf {X} }$の変形が、変形された配置における${\displaystyle d\mathbf {x} }$に写像されることを意味する。即ち. ${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$という結果は、 要素を、なんらかの ${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$でUによって、まず伸ばすという方法で得られ得る、つまり まず、${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$という変換を行い、 次に、回転${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$、即ち ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!}$を行う; 等価な方法として、まず剛体回転 ${\displaystyle \mathbf {R} }$、つまり ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$を行い、次に、${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$による伸長、つまり ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x} }$ を行う方法もある（図3を参照）.

${\displaystyle \mathbf {R} }$の直交性のため、$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$となる。

その結果、${\displaystyle \mathbf {U} }$と${\displaystyle \mathbf {V} }$は同じ「固有値」、「principal directions（主方向）」を持つが、「固有ベクトル」（主方向）は、それぞれ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$および${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$ となり、異なる。主方向は以下のように関連している：$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

この極分解は、${\displaystyle \mathbf {F} }$が逆行列を持ち、かつ正の行列式を持つため、一意的である。また、この極分解は特異値分解の帰結である。

変形テンソル (Deformation tensors)[編集]

機械工学ではいくつかの回転非依存の変形テンソルが使用されている。その中でも固体力学では、 最も一般的なものは右Cauchy-Green変形テンソルと左Cauchy-Green変形テンソルである。

純粋な回転は可変体にひずみを誘起すべきではないため、連続体力学においては、回転非依存の変形の尺度を使うことがしばしば便利である。回転に続いて逆回転を行うと変化がないため（${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!}$）、変形勾配テンソル${\displaystyle \mathbf {F} }$に対してその転置を掛けることで回転を除外することができる。

右コーシー・グリーン変形テンソル[編集]

右コーシー・グリーン変形テンソル（The right Cauchy–Green deformation tensor）について説明する。1839年、ジョージ・グリーンは、「右Cauchy–Green変形テンソル」または「グリーンの変形テンソル」として知られる変形テンソルを導入した。これは以下のように定義される：^{[6] [7]}

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

物理的には、Cauchy–Greenテンソルは変形による距離の局所的な変化の2乗を表す。つまり、以下のように表される。

${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {C} }$の不変量は、しばしばひずみエネルギー密度関数の式に使用される。最も一般的に使用される不変量は、以下の通りである。$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$ ここで、${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$は変形勾配${\displaystyle \mathbf {F} }$の行列式（determinant）であり、${\displaystyle \lambda _{i}}$は単位繊維（unit fibers）の伸び率を示す。これらの繊維は、右（参照）伸びテンソル（right stretch tensor）の固有ベクトル方向に初めは沿って配置されている（一般的にこれらの方向は座標系の三つの軸とは一致しない）。

フィンガー変形テンソルという用語について[編集]

IUPAC（国際純正・応用化学連合）は、右Cauchy–Green変形テンソルの逆行列（この文書ではCauchyテンソルと呼ばれる）である${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$を「フィンガー変形テンソル」と呼ぶことを推奨している。ただし、この用語は応用力学全般で普遍的に受け入れられているわけでない。

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

左コーシー・グリーンテンソル（フィンガー変形テンソル）[編集]

左コーシー・グリーンテンソル（フィンガー変形テンソル：The left Cauchy–Green or Finger deformation tensor）について説明する。右のグリーン・コーシー変形テンソルの式の乗算の順序を逆にすると、左のコーシー・グリーン変形テンソルとなり、次のように定義される：$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

左Cauchy-Green変形テンソルはしばしばFinger deformation tensorと呼ばれ、Josef Finger (1894)にちなんで命名された。^[7][8][9]

また、${\displaystyle \mathbf {B} }$の不変量はひずみエネルギー密度関数の式でも使われる。 従来の不変量は次のように定義される$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$ ここで、 ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$は変形勾配の行列式である。

圧縮可能な材料については、少し異なる不変量のセットが使用される：$${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

コーシの変形テンソル[編集]

コーシの変形テンソル(The Cauchy deformation tensor)について述べる。 1828年の早期には、^[10] オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、左Cauchy–Green変形テンソルの逆行列${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$として定義される変形テンソルを導入した。

このテンソルは、流体力学や流体力学の文献では、ピオラテンソル^[7]やフィンガーテンソル^{[7] [11]} といわれている。

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

スペクトル表現(Spectral representation)[編集]

もし3つの異なる主伸び率(principal stretches) ${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$がある場合、${\displaystyle \mathbf {C} }$および${\displaystyle \mathbf {B} }$の固有分解（スペクトル分解）は以下のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

さらに、

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

以下のことに注意するべきである。 $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$

したがって、スペクトル分解の一意性からも${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$が導かれる。左伸長(${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$)は、「空間伸長テンソル」と呼ばれ、右伸長(${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$)は「物質伸長テンソル」とも呼ばれている。

変形勾配テンソル${\displaystyle \mathbf {F} }$が${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$に作用する効果は、ベクトルを${\displaystyle \lambda _{i}}$倍に伸ばし、新しい方向に回転させることである。 $${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$ 同様に、 $${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

例[編集]

不圧縮材料の一軸伸長

これは試料が1方向に伸長され、伸び率が${\displaystyle \mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!}$である場合です。もし体積が一定であれば、他の2つの方向での収縮は${\displaystyle \mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1} }$ or ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!}$となる。

このとき: $${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}}$$

単純せん断（Simple shear）

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

剛体の回転(Rigid body rotation)

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} }$$

伸びのテンソル微分 (Derivatives of stretch)[編集]

「右コーシグリーン変形テンソルに関する、伸びのテンソル微分は、多くの固体、特に超弾性材料における応力-ひずみ関係を導出するために使用される。これらの導関数

$${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$ は、以下の観察から導かれる。 $${\displaystyle \mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}$$

変形テンソルの物理的解釈[編集]

${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ を変形していない物体上に定義された直交曲線座標系とし、${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ を変形した物体上に定義された別の座標系とする。 変形していない物体内の曲線 ${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$ を${\displaystyle s\in [0,1]}$ を用いてパラメータ化する。 その変形した物体内の像は ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$ である。

変形されていない曲線の長さは次の式で与えられる。 $${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$

変形後の長さは、 $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$

右の Cauchy-Green 変形テンソルは次のように定義されることに注意せよ。

$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$

したがって、 $${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ これは、長さの変化が${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$によって特徴付けられることを示している。

有限ひずみテンソル[編集]

「ひずみ」の概念は、特定の変位が剛体の変位と局所的にどの程度異なるかを評価するために使用される。 ^[3][12][13]

大きな変形に対するそのようなひずみの 1 つは、「ラグランジュ有限ひずみテンソル」です。これは、「グリーン ラグランジュひずみテンソル」または「グリーン – セントヴェナントひずみテンソル」とも呼ばれ、次のように定義される。 $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

または変位勾配テンソルの関数として、

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]}$$ or $${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)}$$

グリーン ラグランジアンひずみテンソルは、${\displaystyle \mathbf {C} }$ が ${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$ とどの程度異なるかを示す尺度である。

変形した構成、つまりオイラー記述を参照する「オイラー・アルマンシ有限ひずみテンソル」は、次のように定義されまる。

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

または、我々が持っている変位勾配の関数として、 $${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

■ラグランジュおよびオイラーの有限ひずみテンソルの導出
変形の尺度は、変形されていない構成の微分線要素（${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$ と ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$ の二乗の差である） の変形された構成 (図 2)。差がゼロでない場合は変形が発生し、そうでない場合は剛体の変位が発生している。したがって、 $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}}$$

ラグランジュ記述では、材料座標を基準枠として使用し、微分線間の線形変換は次のようになる。 $${\displaystyle d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}}$$

それから、 $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}}$$

ここで、 ${\displaystyle C_{KL}}$ は「右 Cauchy–Green 変形テンソル」の成分である。${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!}$. 次に、この式を最初の式に置き換えると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}}$$ or $${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}}$$

ここで、 ${\displaystyle E_{KL}\,\!}$は、「Green – St-Venant ひずみテンソル」または「ラグランジュ有限ひずみテンソル」と呼ばれる 2 次テンソルの成分である。 $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

オイラー記述では、空間座標を基準枠として使用し、微分線間の線形変換は次のようになる。

$${\displaystyle d\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}d\mathbf {x} =\mathbf {F} ^{-1}\,d\mathbf {x} =\mathbf {H} \,d\mathbf {x} \qquad {\text{or}}\qquad dX_{M}={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}}$$ ここで、 ${\displaystyle {\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}}$ は「空間変形勾配テンソル」の成分である。 ${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$. したがって、我々は、

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}}$$

ここで、2次テンソルは${\displaystyle c_{rs}}$ は「コーシーの変形テンソル」と呼ばれる。${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$. それから、

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}}$$ or $${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}}$$