次数nが1, 2, 3, 4で選択係数ξが1.1の場合について,楕円有理関数をxの範囲が-1から1までのプロット。 注 この範囲では値は-1から1の間にあり、すべての次数でx=1のとき1となる。 楕円有理関数 (英 : Elliptic rational functions )とは、実数係数を持つ 有理関数 の数列であり、フィルタ回路 の一種である楕円フィルタ の設計で利用される。楕円有理関数は、チェビシェフ有理関数 と呼ばれることもあるが、同名の別のチェビシェフ有理関数 (英語 : Chebyshev rational functions ) )があるので注意が必要。 楕円有理関数は正の次数n と選択係数と呼ばれるパラメータξ ≥ 1 を持つ。次数n で選択係数が ξ {\displaystyle \xi } で変数がx の楕円有理関数は、次のようなヤコビの楕円関数 を用いた表示を持つ:
R n ( ξ , x ) ≡ c d ( n K ( 1 / L n ) K ( 1 / ξ ) c d − 1 ( x , 1 / ξ ) , 1 / L n ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}\right)}
この式で, c d ( x , k ) {\displaystyle cd(x,k)} は母数が k {\displaystyle k} の ヤコビの楕円余弦関数 であり, c d − 1 ( x , k ) {\displaystyle cd^{-1}(x,k)} はその逆関数、 K ( k ) {\displaystyle K(k)} は 母数が k {\displaystyle k} の第一種完全楕円積分 を表わす。 L n = R n ( ξ , ξ ) {\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )} は 弁別係数 と呼ばれ、 ξ ≤ | x | {\displaystyle \xi \leq |x|} における | R n ( ξ , x ) | {\displaystyle |R_{n}(\xi ,x)|} の最小値に等しい。 この表示がn次の有理関数であるためには, K ′ ( k ) ≡ K ( 1 − k 2 ) {\displaystyle K'(k)\equiv K({\sqrt {1-k^{2}}})} とするとき、条件 K ′ ( 1 / L n ) / K ( 1 / L n ) = n K ′ ( 1 / ξ ) / K ( 1 / ξ ) {\displaystyle K'(1/L_{n})/K(1/L_{n})=nK'(1/\xi )/K(1/\xi )} の成立が必要である。 つまり,nを与えたとき, ξ {\displaystyle \xi } と L n {\displaystyle L_{n}} の間には関係がある。その関係を最も一般的に解くには、たとえば楕円nome関数 q ( k ) ≡ exp ( − π K ′ ( k ) / K ( k ) ) {\displaystyle q(k)\equiv \exp(-\pi K'(k)/K(k))} を用いるとその関係は q ( 1 / L n ) = { q ( 1 / ξ ) } n {\displaystyle q(1/L_{n})=\{q(1/\xi )\}^{n}} と表せる。そうして ξ {\displaystyle \xi } を与えてこの関係式の右辺を計算すれば、その値に対する楕円nome関数の逆関数の値として 1 / L n {\displaystyle 1/L_{n}} が求まる(楕円nome関数 q ( k ) {\displaystyle q(k)} の逆関数 k = k ( q ) {\displaystyle k=k(q)} の値は | q | ≪ 1 {\displaystyle |q|\ll 1} のとき収束の早い級数展開を利用して近似計算ができる)。 多くの場合、特にn が = 2a 3b 、(a, bは整数)で表される時、楕円有理関数は代数的に表すことができる。 楕円有理関数は、チェビシェフ多項式 と密接な関係にあり、三角関数 がヤコビの楕円関数の特殊な場合であるのと同様、チェビシェフ多項式は楕円有理関数の特殊な場合にあたる。
多項式の比としての表現 [ 編集 ] 偶数次楕円有理関数は2つの n 次多項式の比として表すことができる。
R n ( ξ , x ) = r 0 ∏ i = 1 n ( x − x n , i ) ∏ i = 1 n ( x − x n , i ( p ) ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,{\frac {\prod _{i=1}^{n}(x-x_{n,i})}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{n,i}^{(p)})}}} (n は偶数) x n , i {\displaystyle x_{n,i}} は零点で x n , i ( p ) {\displaystyle x_{n,i}^{(p)}} は極であり、 r 0 {\displaystyle r_{0}} は R n ( ξ , 1 ) = 1 {\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1} となるように選んだ正規化定数である。この表記法は偶数次と同様に奇数次にも成り立つが、奇数次の場合は、極が x=∞ にあり、零点が x=0 に存在するので、次のように読み替える必要がある:
R n ( ξ , x ) = r 0 x ∏ i = 1 n − 1 ( x − x n , i ) ∏ i = 1 n − 1 ( x − x n , i ( p ) ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,x\,{\frac {\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{n,i})}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{n,i}^{(p)})}}} (n は奇数) 3次の有理関数でξ=1.4のグラフ。x=0の時にゼロ、無限遠に極を持つ。奇数3次の関数は奇関数である。実軸上に3つの零点と3つの極を持つ(1つの極は無限遠)。関数値の絶対値はすべての零点の間で極大値1を取り、すべての極の間で極小値として弁別係数Ln の値を取る。 4次の楕円有理関数でξ=1.4のグラフ。偶数4次の関数は偶関数である。実軸上に4つの零点と4つの極を持つ。この場合も、関数値の絶対値は零点の間で極大値1を取り、極の間で極小値 Ln を取る。 選択係数ξの違いによる変化. 4次の楕円有理関数で、選択係数ξをほぼ1から無限大にまで変えた例。 ξ=∞に対応する黒い線は 4次のチェビシェフ多項式に対応する。 選択係数が1に近付くほど、x=1 と x=ξの間の遷移領域に於いて傾きが急峻になる。 The canonical properties [ 編集 ] R n 2 ( ξ , x ) ≤ 1 {\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)\leq 1} for | x | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1\,} R n 2 ( ξ , x ) = 1 {\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)=1} at | x | = 1 {\displaystyle |x|=1\,} R n 2 ( ξ , − x ) = R n 2 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,-x)=R_{n}^{2}(\xi ,x)} R n 2 ( ξ , x ) > 1 {\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)>1} for x > 1 {\displaystyle x>1\,} x=1 における傾きが最も急峻 x=1 における傾きは同次数のチェビシェフ多項式よりも急である 上記の条件を満たす有理関数は、楕円有理関数しかない (Lutovac 2001 , § 13.2).
以下の特徴を導くことができる:
正規化 [ 編集 ] 楕円有理関数はx=1の時に1となる。
R n ( ξ , 1 ) = 1 {\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1\,} 入れ子関係 [ 編集 ] 「入れ子関係」は次のように書き表せる:
R m ( R n ( ξ , ξ ) , R n ( ξ , x ) ) = R m ⋅ n ( ξ , x ) {\displaystyle R_{m}(R_{n}(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)\,} これは極めて重要な特徴である:
もし R n {\displaystyle R_{n}} が任意の素数 n で求められるなら、入れ子関係により任意の n で R n {\displaystyle R_{n}} を求めることができる。特に、 R 2 {\displaystyle R_{2}} と R 3 {\displaystyle R_{3}} はヤコビの楕円関数を使わない閉じた形であらわせるため、 n = 2 a 3 b {\displaystyle n=2^{a}3^{b}} の形であらわされる任意の n で R n {\displaystyle R_{n}} を表すことができる。 このことから、もし素数 n での R n {\displaystyle R_{n}} の零点が知られているなら、任意の n における R n {\displaystyle R_{n}} の零点を見つけることができる。さらに、逆数関係(下記参照)を使うことにより、極の位置も知ることができる。 この入れ子関係を用いることで、弁別係数の入れ子関係が示せる: L m ⋅ n ( ξ ) = L m ( L n ( ξ ) ) {\displaystyle L_{m\cdot n}(\xi )=L_{m}(L_{n}(\xi ))} 極限値 [ 編集 ] 楕円有理関数は、第一種チェビシェフ多項式 T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} と次の関連がある。
lim ξ =→ ∞ R n ( ξ , x ) = T n ( x ) {\displaystyle \lim _{\xi =\rightarrow \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)\,} 対称性 [ 編集 ] R n ( ξ , − x ) = R n ( ξ , x ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi ,x)\,} n が偶数の場合 R n ( ξ , − x ) = − R n ( ξ , x ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,} n が奇数の場合 等リップル性 [ 編集 ] R n ( ξ , x ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,x)} は − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} の区間で、等リップル性(極大極小値が ± 1 {\displaystyle \pm 1} )を持ち、 さらに逆数関係(下記参照)により、 1 / R n ( ξ , x ) {\displaystyle 1/R_{n}(\xi ,x)} が 1 ≤ ξ ≤ | x | {\displaystyle 1\leq \xi \leq |x|} で等リップル性(極大極小値が ± 1 / L n ( ξ ) {\displaystyle \pm 1/L_{n}(\xi )} ) を持つ。
逆数関係 [ 編集 ] 次の逆数関係が成り立つ:
R n ( ξ , ξ / x ) = R n ( ξ , ξ ) R n ( ξ , x ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}\,} このことから、対応するi番目の零点 x i {\displaystyle x_{i}} と極 x i ( p ) {\displaystyle x_{i}^{(p)}} の間には次の関係がある
x i x i ( p ) = ξ {\displaystyle x_{i}x_{i}^{(p)}=\xi \,} 全ての零点と極は実数であって重複がない。奇数次の場合には原点に零点があり、それに対応する極は無限遠にある。
極と零点 [ 編集 ] n次の楕円有理関数の零点を、 x n , i ( ξ ) {\displaystyle x_{n,i}(\xi )} あるいは ξ {\displaystyle \xi } が明らかな場合は単に x n , i {\displaystyle x_{n,i}} と書く。 また、楕円有理関数の零点は、有理式の分子の多項式の零点である。
以下の楕円有理関数の零点の導出はチェビシェフ多項式 の零点の決定と類似のものである。
任意のzについて成り立つ次の等式を( z = L n {\displaystyle z=L_{n}} の場合にも成り立つ)使う
c d ( ( 2 m − 1 ) K ( 1 / z ) , 1 z ) = 0 {\displaystyle \mathrm {cd} \left((2m-1)K\left(1/z\right),{\frac {1}{z}}\right)=0\,} すると零点 x n , m {\displaystyle x_{n,m}} は、楕円有理関数のヤコビ楕円関数を用いた表示式から、次式を満たす。
n K ( 1 / L n ) K ( 1 / ξ ) c d − 1 ( x n , m , 1 / ξ ) = ( 2 m − 1 ) K ( 1 / L n ) {\displaystyle n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\mathrm {cd} ^{-1}(x_{n,m},1/\xi )=(2m-1)K(1/L_{n})} したがって、零点の位置は(m=1,2,...,nとして)次のように与えられる
x n , m = c d ( K ( 1 / ξ ) 2 m − 1 n , 1 ξ ) . {\displaystyle x_{n,m}=\mathrm {cd} \left(K(1/\xi )\,{\frac {2m-1}{n}},{\frac {1}{\xi }}\right).} 上述の「逆数関係」により,極の位置は x n , i x n , i ( p ) = ξ {\displaystyle x_{n,i}x_{n,i}^{(p)}=\xi \,} から簡単に計算できる。
一般的には R m {\displaystyle R_{m}} と R n {\displaystyle R_{n}} の零点はヤコビ楕円関数の周期等分方程式を解いて求められるが,それらが四則と巾根だけによる代数的な式で (つまり楕円関数を用いずに)表せるのであれば,上記の入れ子関係を使うことで、 R m n {\displaystyle R_{m\,n}} の零点を代数的に表現できる。 特に、次数 2 i 3 j {\displaystyle 2^{i}3^{j}} の楕円有理関数の零点の位置は代数的に表現することができる (Lutovac 2001 , § 12.9, 13.9)。たとえば、 R 8 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{8}(\xi ,x)} の零点は次のように表せる:
X n ≡ R n ( ξ , x ) L n ≡ R n ( ξ , ξ ) t n ≡ 1 − 1 / L n 2 . {\displaystyle X_{n}\equiv R_{n}(\xi ,x)\qquad L_{n}\equiv R_{n}(\xi ,\xi )\qquad t_{n}\equiv {\sqrt {1-1/L_{n}^{2}}}.} と定義すれば、「入れ子関係」を持ちいることで
R 2 ( ξ , x ) = ( t + 1 ) x 2 − 1 ( t − 1 ) x 2 + 1 {\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}} t ≡ 1 − 1 / ξ 2 {\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}} とすれば、 L 2 = 1 + t 1 − t , L 4 = 1 + t 2 1 − t 2 , L 8 = 1 + t 4 1 − t 4 {\displaystyle L_{2}={\frac {1+t}{1-t}},\qquad L_{4}={\frac {1+t_{2}}{1-t_{2}}},\qquad L_{8}={\frac {1+t_{4}}{1-t_{4}}}} X 2 = ( t + 1 ) x 2 − 1 ( t − 1 ) x 2 + 1 , X 4 = ( t 2 + 1 ) X 2 2 − 1 ( t 2 − 1 ) X 2 2 + 1 , X 8 = ( t 4 + 1 ) X 4 2 − 1 ( t 4 − 1 ) X 4 2 + 1 . {\displaystyle X_{2}={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}},\qquad X_{4}={\frac {(t_{2}+1)X_{2}^{2}-1}{(t_{2}-1)X_{2}^{2}+1}},\qquad X_{8}={\frac {(t_{4}+1)X_{4}^{2}-1}{(t_{4}-1)X_{4}^{2}+1}}.} 最後の3つの式は逆に解くことができ、
x = 1 ± 1 + t ( 1 − X 2 1 + X 2 ) , X 2 = 1 ± 1 + t 2 ( 1 − X 4 1 + X 4 ) , X 4 = 1 ± 1 + t 4 ( 1 − X 8 1 + X 8 ) . {\displaystyle x={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t\,\left({\frac {1-X_{2}}{1+X_{2}}}\right)}}}},\qquad X_{2}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{2}\,\left({\frac {1-X_{4}}{1+X_{4}}}\right)}}}},\qquad X_{4}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{4}\,\left({\frac {1-X_{8}}{1+X_{8}}}\right)}}}}.\qquad } R 8 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{8}(\xi ,x)} の零点を求めるには、 3番目の式で、 X 8 = 0 {\displaystyle X_{8}=0} としたうえで X 4 {\displaystyle X_{4}} の値2つを求め、求めた X 4 {\displaystyle X_{4}} を用いることで、2番目の等式から4つの X 2 {\displaystyle X_{2}} の値を求め、最後に、これらの値を使うことで最初の等式から R 8 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{8}(\xi ,x)} の8つの零点を求めることができる。. ( t n {\displaystyle t_{n}} も同様な再帰で求めることができる。) また、逆数関係を用いれば、極の位置も求めることができる。
特定の値 [ 編集 ] 低次の楕円有理関数は次のようになる:
R 1 ( ξ , x ) = x {\displaystyle R_{1}(\xi ,x)=x\,} R 2 ( ξ , x ) = ( t + 1 ) x 2 − 1 ( t − 1 ) x 2 + 1 {\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}} ここで t ≡ 1 − 1 ξ 2 {\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}} R 3 ( ξ , x ) = x ( 1 − x p 2 ) ( x 2 − x z 2 ) ( 1 − x z 2 ) ( x 2 − x p 2 ) {\displaystyle R_{3}(\xi ,x)=x\,{\frac {(1-x_{p}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2})}{(1-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{p}^{2})}}} G ≡ 4 ξ 2 + ( 4 ξ 2 ( ξ 2 − 1 ) ) 2 / 3 {\displaystyle G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4\xi ^{2}(\xi ^{2}\!-\!1))^{2/3}}}} ここで x p 2 ≡ 2 ξ 2 G 8 ξ 2 ( ξ 2 + 1 ) + 12 G ξ 2 − G 3 − G 3 {\displaystyle x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt {G}}}{{\sqrt {8\xi ^{2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}}}-{\sqrt {G^{3}}}}}} また x z 2 = ξ 2 / x p 2 {\displaystyle x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}} R 4 ( ξ , x ) = R 2 ( R 2 ( ξ , ξ ) , R 2 ( ξ , x ) ) = ( 1 + t ) ( 1 + t ) 2 x 4 − 2 ( 1 + t ) ( 1 + t ) x 2 + 1 ( 1 + t ) ( 1 − t ) 2 x 4 − 2 ( 1 + t ) ( 1 − t ) x 2 + 1 {\displaystyle R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}} R 6 ( ξ , x ) = R 3 ( R 2 ( ξ , ξ ) , R 2 ( ξ , x ) ) {\displaystyle R_{6}(\xi ,x)=R_{3}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))\,} etc. n=5 や n = 2 i 3 j {\displaystyle n=2^{i}\,3^{j}} の形をしたより多くの楕円有理関数についてはLutovac (2001 , § 13) を参照のこと。
対応する弁別係数は:
L 1 ( ξ ) = ξ {\displaystyle L_{1}(\xi )=\xi \,} L 2 ( ξ ) = 1 + t 1 − t = ( ξ + ξ 2 − 1 ) 2 {\displaystyle L_{2}(\xi )={\frac {1+t}{1-t}}=\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}} L 3 ( ξ ) = ξ 3 ( 1 − x p 2 ξ 2 − x p 2 ) 2 {\displaystyle L_{3}(\xi )=\xi ^{3}\left({\frac {1-x_{p}^{2}}{\xi ^{2}-x_{p}^{2}}}\right)^{2}} L 4 ( ξ ) = ( ξ + ( ξ 2 − 1 ) 1 / 4 ) 4 ( ξ + ξ 2 − 1 ) 2 {\displaystyle L_{4}(\xi )=\left({\sqrt {\xi }}+(\xi ^{2}-1)^{1/4}\right)^{4}\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}} L 6 ( ξ ) = L 3 ( L 2 ( ξ ) ) {\displaystyle L_{6}(\xi )=L_{3}(L_{2}(\xi ))\,} etc. n を次数とすると、零点は全部で n 個あり、j を零点の番号とすると対応する零点は x n , j {\displaystyle x_{n,j}} と表せる。
x 1 , 1 = 0 {\displaystyle x_{1,1}=0\,} x 2 , 1 = ξ 1 − t {\displaystyle x_{2,1}=\xi {\sqrt {1-t}}\,} x 2 , 2 = − x 2 , 1 {\displaystyle x_{2,2}=-x_{2,1}\,} x 3 , 1 = x z {\displaystyle x_{3,1}=x_{z}\,} x 3 , 2 = 0 {\displaystyle x_{3,2}=0\,} x 3 , 3 = − x 3 , 1 {\displaystyle x_{3,3}=-x_{3,1}\,} x 4 , 1 = ξ ( 1 − t ) ( 1 + t − t ( t + 1 ) ) {\displaystyle x_{4,1}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t-{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,} x 4 , 2 = ξ ( 1 − t ) ( 1 + t + t ( t + 1 ) ) {\displaystyle x_{4,2}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t+{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,} x 4 , 3 = − x 4 , 2 {\displaystyle x_{4,3}=-x_{4,2}\,} x 4 , 4 = − x 4 , 1 {\displaystyle x_{4,4}=-x_{4,1}\,} 「逆数関係」により、対応する極は x n , i ( p ) = ξ / x n , i {\displaystyle x_{n,i}^{(p)}=\xi /x_{n,i}} と表すことができる。
参考文献 [ 編集 ] Weisstein, Eric W. "Elliptic Rational Function" . mathworld.wolfram.com (英語). Daniels, Richard W. (1974). Approximation Methods for Electronic Filter Design . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6 Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V., Evans, Brian L. (2001). Filter Design for Signal Processing using MATLAB and Mathematica . New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2