2の12乗根

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2の12乗根（2の12じょうこん） は、代数的無理数である。音楽理論において非常に重要であり、十二平均律における半音の周波数比を表す。歴史的にこの数はシモン・ステヴィンによって1580年（草稿、1610年に書き直し）に調律との関連で初めて提唱された[1]。

数値

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有効数字20桁の2の12乗根は1.0594630943592952646[2][3][4]である。正則連分数展開[5]によるディオファントス近似は1, 17⁄16, 18⁄17, 89⁄84, 196⁄185, 1461⁄1379, 1657⁄1564, 3118⁄2943, 7893⁄7450, 18904⁄17843 ... [6][7]である。

平均律の半音階

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音程は周波数の比であるため、平均律の半音階はオクターブ（2:1の周波数比）を12等分する。

この値を中央ハ（C）の上のイ（A）音（440 Hzの周波数を持ち、A4と呼ばれる）から始まる半音階の音に連続的に適用することで、以下の音高列が得られる。

音 周波数
(Hz) 		乗数 係数
（8桁まで） 		近似比
A 440.000000 20⁄12 1.00000000 1
A♯/B♭ 466.163762 21⁄12 1.05946309 ≈ 16⁄15
B 493.883301 22⁄12 1.12246205 ≈ 9⁄8
C 523.251131 23⁄12 1.18920712 ≈ 6⁄5
C♯/D♭ 554.365262 24⁄12 1.25992105 ≈ 5⁄4
D 587.329536 25⁄12 1.33483985 ≈ 4⁄3
D♯/E♭ 622.253967 26⁄12 1.41421356 ≈ 7⁄5
E 659.255114 27⁄12 1.49830708 ≈ 3⁄2
F 698.456463 28⁄12 1.58740105 ≈ 8⁄5
F♯/G♭ 739.988845 29⁄12 1.68179283 ≈ 5⁄3
G 783.990872 210⁄12 1.78179744 ≈ 9⁄5
G♯/A♭ 830.609395 211⁄12 1.88774863 ≈ 15⁄8
A 880.000000 212⁄12 2.00000000 2

最後のA（A5: 880 Hz）は低い方のA（A4: 440 Hz）の厳密に2倍の周波数を持つ。つまり1オクターブ高い。

歴史

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1636年にフランスの数学者マラン・メルセンヌによって計算された。

出典

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  1. ^ Thomas Christensen, ed (2002). The Cambridge history of Western music theory. Cambridge University Press. pp. 205. ISBN 978-0521686983 
  2. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A010774
  3. ^ [1]Wolfram Alphaによる。
  4. ^ [2]Sageによる（via SageMathCell）。
  5. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A103922
  6. ^ [3]Wolfram Alphaによる。
  7. ^ [4]Sageによる（via SageMathCell）。

推薦文献

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  • Barbour, J. M. (1933). “A Sixteenth Century Approximation for π”. American Mathematical Monthly 40 (2): 69–73. doi:10.2307/2300937. JSTOR 2300937. 
  • Ellis, Alexander; Helmholtz, Hermann (1954). On the Sensations of Tone. Dover Publications. ISBN 0-486-60753-4 
  • Partch, Harry (1974). Genesis of a Music. Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X 

関連項目

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