Теория Галуа

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
2. Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

У многочлена второй степени ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ имеются два корня ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$, симметричных относительно точки ${\displaystyle x=-b/(2a)}$. Возможны два варианта:

• Если эти корни рациональны, то уравнению ${\displaystyle x-x_{1}=0}$ удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
• Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент ${\displaystyle x_{1}\Leftrightarrow x_{2}}$ и изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Рассмотрим теперь многочлен ${\displaystyle (x^{2}-5)^{2}-24}$.

Его корни: ${\displaystyle a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$.

Существует ${\displaystyle 4!=24}$ различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — ${\displaystyle a+d=0}$. Поскольку ${\displaystyle a+c\neq 0}$, перестановка ${\displaystyle a\to a,\ b\to b,\ c\to d,\ d\to c}$ не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что ${\displaystyle (a+b)^{2}=8}$, но ${\displaystyle (a+c)^{2}=12}$. Поэтому перестановка ${\displaystyle a\to a,\ b\to c,\ c\to b,\ d\to d}$ не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

${\displaystyle (a,b,c,d)\to (a,b,c,d),}$

${\displaystyle (a,b,c,d)\to (c,d,a,b),}$

${\displaystyle (a,b,c,d)\to (b,a,d,c),}$

${\displaystyle (a,b,c,d)\to (d,c,b,a)}$

и является четверной группой Клейна, изоморфной ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$.

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения ${\displaystyle L\supset K}$. Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q} }$.

Решения полиномиального уравнения ${\displaystyle P(x)=0}$ выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения в общем виде разрешима.

Для любого ${\displaystyle n}$ существует уравнение ${\displaystyle n}$-й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе ${\displaystyle S_{n}}$, то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы ${\displaystyle S_{n}}$ при ${\displaystyle n>4}$ не являются разрешимыми, существуют многочлены степени ${\displaystyle n}$, корни которых не представимы при помощи радикалов, что является утверждением теоремы Абеля — Руффини.

• Более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории, обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов).
  • В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий. Для того, чтобы применить эту теорию к категории расширений полей, требуется изучение свойств тензорных произведений полей^[англ.].

• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. — М.: Наука.

• Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978. (недоступная ссылка)

• Постников М. М. Теория Галуа. Архивная копия от 2 апреля 2014 на Wayback Machine — М.: Физматгиз, 1963.
• Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France, arXiv: math/0206203 — ISBN 978-2-85629-141-2
• Скопенков А. Б. Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.
• Lerner L. Galois Theory without abstract algebra.
• Эмиль Артин. Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.

• Р. Борчердс, Плейлист «Galois theory» на YouTube