Дискретное преобразование Фурье над конечным полем — один из видов дискретного преобразования Фурье для вектора
над конечным полем
, определяемое как вектор
, где
делит
при некотором целом положительном
, с компонентами, вычисляемыми как
![{\displaystyle V_{j}=\sum _{i=0}^{n-1}\alpha ^{ij}v_{i},\quad j=0,\;1,\;\ldots ,\;n-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927508d463fc545064b98f40782a4cf4d3380d1e)
где
— элемент порядка
в поле
(то есть такой, что
).
Индекс
можно назвать временем, а
— временной функцией или сигналом. Аналогично индекс
— частотой, а
— частотной функцией или спектром.
Обратное преобразование в данном случае определяется таким образом
![{\displaystyle v_{i}=(n)^{-1}\sum _{j=0}^{n-1}\alpha ^{-ij}V_{j},\quad i=0,\;1,\;\ldots ,\;n-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17406e20a160e468634920f697f1f29b489d61c)
где
интерпретируется как элемент поля
, то есть
, где
— нейтральный элемент поля по умножению.