Метод золотого сечения

Метод золотого сечения — метод поиска экстремума действительной функции одной переменной на заданном отрезке. В основе метода лежит принцип деления отрезка в пропорциях золотого сечения. Является одним из простейших вычислительных методов решения задач оптимизации. Впервые представлен Джеком Кифером в 1953 году.

Пусть задана унимодальная функция ${\displaystyle f(x):\;[a,\;b]\to \mathbb {R} ,\;f(x)\in \mathrm {C} ([a,\;b])}$. Тогда для того, чтобы найти неопределённое значение этой функции на заданном отрезке, отвечающее критерию поиска (пусть это будет минимум), рассматриваемый отрезок делится в пропорции золотого сечения в обоих направлениях, то есть выбираются две точки ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ такие, что:

${\displaystyle {\frac {b-a}{b-x_{1}}}={\frac {b-a}{x_{2}-a}}=\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618\ldots }$, где ${\displaystyle \Phi }$ — пропорция золотого сечения.

Таким образом:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}x_{1}&=&b-{\frac {(b-a)}{\Phi }}\\x_{2}&=&a+{\frac {(b-a)}{\Phi }}\end{array}}}$

То есть точка ${\displaystyle x_{1}}$ делит отрезок ${\displaystyle [a,\;x_{2}]}$ в отношении золотого сечения. Аналогично ${\displaystyle x_{2}}$ делит отрезок ${\displaystyle [x_{1},\;b]}$ в той же пропорции. Это свойство и используется для построения итеративного процесса.

1. На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками и рассчитываются значения в этих точках.
2. После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают.
3. На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку.
4. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

1. Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка ${\displaystyle a,\;b}$ и точность ${\displaystyle \varepsilon }$.
2. Шаг 2. Рассчитывают начальные точки деления: ${\displaystyle x_{1}=b-{\frac {(b-a)}{\Phi }},\quad x_{2}=a+{\frac {(b-a)}{\Phi }}}$ и значения в них целевой функции: ${\displaystyle y_{1}=f(x_{1}),\;y_{2}=f(x_{2})}$.
   • Если ${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}}$ (для поиска max изменить неравенство на ${\displaystyle y_{1}\leq y_{2}}$), то ${\displaystyle a=x_{1}}$
   • Иначе ${\displaystyle b=x_{2}}$.
3. Шаг 3.
   • Если ${\displaystyle |b-a|<\varepsilon }$, то ${\displaystyle x={\frac {a+b}{2}}}$ и останов.
   • Иначе возврат к шагу 2.

Алгоритм взят из книги Мэтьюза и Финка «Численные методы. Использование MATLAB».

Реализация данного алгоритма на языке F#, в которой значения целевой функции используются повторно:

let phi = 0.5 * (1.0 + sqrt 5.0) let minimize f eps a b =      let rec min_rec f eps a b fx1 fx2 =          if b - a < eps then              0.5 * (a + b)         else              let t = (b - a) / phi             let x1, x2 = b - t, a + t             let fx1 = match fx1 with Some v -> v | None -> f x1             let fx2 = match fx2 with Some v -> v | None -> f x2             if fx1 >= fx2 then                 min_rec f eps x1 b (Some fx2) None             else                 min_rec f eps a x2 None (Some fx1)     min_rec f eps (min a b) (max a b) None None  // Примеры вызова: minimize cos 1e-6 0.0 6.28 |> printfn "%.10g" // = 3.141592794; функция f вызвана 34 раза. minimize (fun x -> (x - 1.0)**2.0) 1e-6 0.0 10.0 |> printfn "%.10g" // = 1.000000145; функция f вызвана 35 раз. 

В силу того, что в асимптотике ${\displaystyle \Phi =\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$, метод золотого сечения может быть трансформирован в так называемый метод чисел Фибоначчи. Однако при этом в силу свойств чисел Фибоначчи количество итераций строго ограничено. Это удобно, если сразу задано количество возможных обращений к функции.

1. Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка ${\displaystyle a,\;b}$ и число итераций ${\displaystyle n}$, рассчитывают начальные точки деления: ${\displaystyle x_{1}=a+(b-a){\frac {F_{n-2}}{F_{n}}},\quad x_{2}=a+(b-a){\frac {F_{n-1}}{F_{n}}}}$ и значения в них целевой функции: ${\displaystyle y_{1}=f(x_{1}),\;y_{2}=f(x_{2})}$.
2. Шаг 2. ${\displaystyle n=n-1}$.
   • Если ${\displaystyle y_{1}>y_{2}}$, то ${\displaystyle a=x_{1},\;x_{1}=x_{2},\;x_{2}=b-(x_{1}-a),\;y_{1}=y_{2},\;y_{2}=f(x_{2})}$.
   • Иначе ${\displaystyle b=x_{2},\;x_{2}=x_{1},\;x_{1}=a+(b-x_{2}),\;y_{2}=y_{1},\;y_{1}=f(x_{1})}$.
3. Шаг 3.
   • Если ${\displaystyle n=1}$, то ${\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ и остановка.
   • Иначе возврат к шагу 2.

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.
2. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.
3. Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
4. Максимов Ю. А., Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
5. Максимов Ю. А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.: МИФИ, 1980.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575—576.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1973. — С. 832 с илл..
8. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. Использование MATLAB. — 3-е издание. — М., СПб.: Вильямс, 2001. — С. 716.

• Золотое сечение
• Числа Фибоначчи