Нейтральный элемент

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (11 января 2012)

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Пусть ${\displaystyle (M,\cdot )}$ — множество ${\displaystyle M}$ с определённой на нём бинарной операцией «${\displaystyle \cdot }$». Элемент ${\displaystyle e\in M}$ называется нейтральным относительно ${\displaystyle \cdot }$ (умножения), если

${\displaystyle x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M}$.

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, для которого

${\displaystyle e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M}$,

и правый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, для которого

${\displaystyle x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M}$.

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, и нейтральный справа элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, то они обязаны совпадать (так как ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}$).

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	${\displaystyle +}$ (сложение)	число 0
Вещественные числа	${\displaystyle \cdot }$ (умножение)	число 1
Вещественные числа	${\displaystyle -}$ (вычитание)	число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа	${\displaystyle a^{b}}$ (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \div }$ (деление)	число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство	${\displaystyle +}$ (сложение векторов)	${\displaystyle {\vec {0}}}$ (нуль-вектор)
Матрицы размера ${\displaystyle m\times n}$	${\displaystyle +}$ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера ${\displaystyle n\times n}$	${\displaystyle \times }$ (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида ${\displaystyle f:M\to M}$	${\displaystyle \circ }$ (композиция функций)	тождественное отображение
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \min }$ (минимум) или ${\displaystyle \inf }$ (инфимум)	${\displaystyle +\infty }$
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \max }$ (максимум) или ${\displaystyle \sup }$ (супремум)	${\displaystyle -\infty }$
Подмножества множества ${\displaystyle M}$	${\displaystyle \cap }$ (пересечение множеств)	${\displaystyle M}$
Множества	${\displaystyle \cup }$ (объединение множеств)	${\displaystyle \varnothing }$ (пустое множество)
Исчисление высказываний	${\displaystyle \wedge }$ (конъюнкция)	${\displaystyle \top }$ (истина)
Исчисление высказываний	${\displaystyle \lor }$ (дизъюнкция)	${\displaystyle \bot }$ (ложь)

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но, обычно, и групповую операцию в абелевых группах в аддитивной нотации.

В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

• Поглощающий элемент (математика)^[англ.]
• Обратный элемент
• Моноид
• Группа

• Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 "Нейтральные элементы"
• http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity  (рус.)
• http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html  (рус.)
• https://brilliant.org/wiki/identity-element/  (англ.)
• Weisstein, Eric W. "Identity Element." From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)