Комплексное число

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание^[1]; о двойном ударении см. примечание^{[K 1]}) — числа вида ${\displaystyle a+bi,}$ где ${\displaystyle a,b}$ — вещественные числа, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица^[2], то есть число, для которого выполняется равенство: ${\displaystyle i^{2}=-1.}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид ${\displaystyle a+0i.}$ Главное свойство ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен ${\displaystyle n}$-й степени (${\displaystyle n\geqslant 1}$) имеет ${\displaystyle n}$ корней. Доказано➤, что система комплексных чисел логически непротиворечива^{[K 2]}.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания➤, умножения➤ и деления➤. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше➤. Удобно представлять комплексные числа ${\displaystyle a+bi}$ точками на комплексной плоскости➤; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси➤. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней➤. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе➤.

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число^[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение ${\displaystyle i}$ для мнимой единицы, Декарт, Гаусс➤. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году^[4].

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других^[5]➤. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы➤.

Всякое комплексное число ${\displaystyle z=a+bi}$ состоит из двух компонентов^[6]:

• Величина ${\displaystyle a}$ называется вещественной частью числа ${\displaystyle z}$ и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается ${\displaystyle \operatorname {Re} z}$ или ${\displaystyle \operatorname {Re} \left(z\right).}$ В источниках иногда встречается готический символ^[7]: ${\displaystyle \operatorname {\Re } \left(z\right).}$
  • Если ${\displaystyle a=0}$, то ${\displaystyle z}$ называется чисто мнимым числом. Вместо ${\displaystyle 0+bi}$ обычно пишут просто ${\displaystyle bi.}$ В некоторых источниках такие числа называются просто мнимыми, однако в других источниках^[8] мнимыми могут называться любые комплексные числа ${\displaystyle z=a+bi,}$ у которых ${\displaystyle b\neq 0.}$ Поэтому термин мнимое число неоднозначен, и использовать его без дополнительных разъяснений не рекомендуется.
• Величина ${\displaystyle b}$ называется мнимой частью числа ${\displaystyle z}$ и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается ${\displaystyle \operatorname {Im} z}$ или ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(z\right).}$ В источниках иногда встречается готический символ^[9]: ${\displaystyle \operatorname {\Im } \left(z\right).}$
  • Если ${\displaystyle b=0}$, то ${\displaystyle z}$ является вещественным числом. Вместо ${\displaystyle a+0i}$ обычно пишут просто ${\displaystyle a.}$ Например, комплексный ноль ${\displaystyle 0+0i}$ обозначается просто как ${\displaystyle 0.}$

Противоположным для комплексного числа ${\displaystyle z=a+bi}$ является число ${\displaystyle -z=-a-bi.}$ Например, для числа ${\displaystyle 1-2i}$ противоположным будет число ${\displaystyle -1+2i.}$

В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (чтобы из ${\displaystyle a<b}$ вытекало ${\displaystyle a+c<b+c}$, а из ${\displaystyle 0<a}$ и ${\displaystyle 0<b}$ вытекало ${\displaystyle 0<ab}$). Однако, комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно^[6]:

• ${\displaystyle a+bi=c+di}$ означает, что ${\displaystyle a=c}$ и ${\displaystyle b=d}$ (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами.

Определение сложения и вычитания комплексных чисел^[6]:

${\displaystyle \left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i,}$

${\displaystyle \left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i.}$

Следующая таблица^[6] показывает основные свойства сложения для любых комплексных ${\displaystyle u,v,w.}$

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	${\displaystyle u+v=v+u}$
Ассоциативность (сочетательность)	${\displaystyle u+\left(v+w\right)=\left(u+v\right)+w}$
Свойство нуля	${\displaystyle u+0=u}$
Свойство противоположного элемента	${\displaystyle u+\left(-u\right)=0}$
Выполнение вычитания через сложение	${\displaystyle u-v=u+\left(-v\right)}$

Определение произведения^[6] комплексных чисел ${\displaystyle a+bi}$ и ${\displaystyle c+di\colon }$

${\displaystyle \left(a+bi\right)\cdot \left(c+di\right)=ac+bci+adi+bdi^{2}=\left(ac+bdi^{2}\right)+\left(bc+ad\right)i=\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i.}$

Следующая таблица^[6] показывает основные свойства умножения для любых комплексных ${\displaystyle u,v,w.}$

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	${\displaystyle u\cdot v=v\cdot u}$
Ассоциативность (сочетательность)	${\displaystyle u\cdot \left(v\cdot w\right)=\left(u\cdot v\right)\cdot w}$
Свойство единицы	${\displaystyle u\cdot 1=u}$
Свойство нуля	${\displaystyle u\cdot 0=0}$
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения	${\displaystyle u\cdot \left(v+w\right)=u\cdot v+u\cdot w}$

Правила для степеней мнимой единицы:

${\displaystyle i^{1}=i;\;i^{2}=-1;\;i^{3}=-i;\;i^{4}=1;\;i^{5}=i}$ и т. д.

То есть для любого целого числа ${\displaystyle n}$ верна формула ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$, где выражение ${\displaystyle n{\bmod {4}}}$ означает получение остатка от деления ${\displaystyle n}$ на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение ${\displaystyle a+bi}$ можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям и определению сложения и умножения:

${\displaystyle \left(a+0i\right)+\left(b+0i\right)\cdot \left(0+1i\right)=\left(a+0i\right)+\left(0+bi\right)=a+bi.}$

Комплексное число ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ называется сопряжённым к комплексному числу ${\displaystyle z=x+iy}$ (подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа ${\displaystyle a+bi,}$ кроме нуля, можно найти обратное к нему^[10] комплексное число ${\displaystyle {\frac {1}{a+bi}}.}$ Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число ${\displaystyle a-bi,}$ комплексно сопряжённое знаменателю

${\displaystyle {\frac {1}{a+bi}}={\frac {a-bi}{\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

Определим результат деления^[6] комплексного числа ${\displaystyle a+bi}$ на ненулевое число ${\displaystyle c+di\colon }$

${\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i.}$

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано отношение порядка). Другое отличие: любой многочлен степени ${\displaystyle n>0}$ с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом кратности, ровно ${\displaystyle n}$ комплексных корней (основная теорема алгебры)^[11].

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень ${\displaystyle n}$-й степени из ненулевого числа имеет ${\displaystyle n}$ различных комплексных значений^[12]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного➤.

Число ${\displaystyle i}$ не является единственным числом, квадрат которого равен ${\displaystyle -1.}$ Число ${\displaystyle -i}$ также обладает этим свойством.

Выражение ${\displaystyle {\sqrt {-1}},}$ ранее часто использовавшееся вместо ${\displaystyle i,}$ в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как ${\displaystyle 5+i{\sqrt {3}},}$ а не ${\displaystyle 5+{\sqrt {-3}},}$ несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым^[13][14].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

${\displaystyle {\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)}}={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {9}}=3.}$

Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из ${\displaystyle -3}$ определён неоднозначно (см. ниже #Формула Муавра и извлечение корней). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы^[14]:

${\displaystyle \left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=\left(i\cdot {\sqrt {3}}\right)^{2}=i^{2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{2}=-3.}$

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу ${\displaystyle z=x+iy}$ соответствует точка плоскости с координатами ${\displaystyle \left\{x,y\right\}}$ (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями^[15].

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние ${\displaystyle r}$ до начала координат (модуль➤) и угол ${\displaystyle \varphi }$ радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент➤).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из формулы Эйлера или из тригонометрических формул суммы). Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа^[16]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»^[17].

Пример: умножение на ${\displaystyle i}$ поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на ${\displaystyle -i}$ радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа ${\displaystyle z=x+iy}$ обозначается ${\displaystyle \left|z\right|}$ (иногда ${\displaystyle r}$ или ${\displaystyle \rho }$) и определяется выражением^[16]

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Если ${\displaystyle z}$ является вещественным числом, то ${\displaystyle \left|z\right|}$ совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых комплексных ${\displaystyle z,z_{1},z_{2}}$ имеют место следующие свойства модуля^[16][18]:

1) ${\displaystyle \left|z\right|\geqslant 0}$, причём ${\displaystyle \left|z\right|=0}$ только при ${\displaystyle z=0;}$

2) ${\displaystyle \left|z_{1}+z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|}$ (неравенство треугольника);

3) ${\displaystyle \left|z_{1}\cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\cdot \left|z_{2}\right|;}$

4) ${\displaystyle \left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}};}$

5) для пары комплексных чисел ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$ модуль их разности ${\displaystyle \left|z_{1}-z_{2}\right|}$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;

6) модуль числа ${\displaystyle z}$ связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

${\displaystyle -\left|z\right|\leqslant \operatorname {Re} (z)\leqslant \left|z\right|;\quad -\left|z\right|\leqslant \operatorname {Im} (z)\leqslant \left|z\right|;\quad \left|z\right|\leqslant \left|\operatorname {Re} \left(z\right)\right|+\left|\operatorname {Im} \left(z\right)\right|.}$

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол ${\displaystyle \varphi }$ между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа ${\displaystyle z}$ измеряется в радианах и обозначается ${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z\right)}$. Из этого определения следует, что^[16]

${\displaystyle \operatorname {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x}};\quad \cos \varphi ={\frac {x}{\left|z\right|}};\quad \sin \varphi ={\frac {y}{\left|z\right|}}.}$

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа ${\displaystyle z}$ аргумент определяется с точностью до ${\displaystyle 2\pi k}$, где ${\displaystyle k}$ — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение ${\displaystyle \varphi }$, что ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi .}$ Главное значение может обозначаться ${\displaystyle \operatorname {arg} \left(z\right)}$^[19].

Некоторые свойства аргумента^[18]:

1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

${\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {Arg} \left(z\right);}$

2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

${\displaystyle \operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2});}$

3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

${\displaystyle \operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}).}$

Если комплексное число ${\displaystyle z}$ равно ${\displaystyle x+iy,}$ то число ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к ${\displaystyle z}$ (обозначается также ${\displaystyle z^{*}}$). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком^[20]:

• ${\displaystyle \left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|;\quad \operatorname {Arg} ({\bar {z}})=-\operatorname {Arg} (z).}$

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию, которая сохраняет все арифметические и алгебраические свойства. Эта операция имеет следующие свойства^[20]:

• ${\displaystyle z={\bar {z}}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle z}$ — вещественное число.
• ${\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное; иначе говоря, операция сопряжения является инволюцией).

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z^[18]:

• ${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число^[18]:

• ${\displaystyle z+{\bar {z}}=2\operatorname {Re} \left(z\right)=2x.}$

Другие соотношения^[18]:

• ${\displaystyle \operatorname {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}};\quad \operatorname {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2};}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2};}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2};}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2};}$

Или, в общем виде: ${\displaystyle {\overline {p\left(z\right)}}=p\left({\bar {z}}\right),}$ где ${\displaystyle p\left(z\right)}$ — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число ${\displaystyle z}$ является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число ${\displaystyle {\overline {z}}}$ тоже является его корнем. Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена (то есть корни, не являющиеся вещественными) разбиваются на комплексно-сопряжённые пары^[18].

Тот факт, что произведение ${\displaystyle z{\bar {z}}}$ есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение^[21], например:

${\displaystyle {\frac {2+5i}{3-4i}}={\frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}={\frac {-14+23i}{25}}=-{\frac {14}{25}}+{\frac {23}{25}}i.}$

Выше использовалась запись комплексного числа ${\displaystyle z}$ в виде ${\displaystyle x+iy;}$ такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Если вещественную ${\displaystyle x}$ и мнимую ${\displaystyle y}$ части комплексного числа выразить через модуль ${\displaystyle r=\left|z\right|}$ и аргумент ${\displaystyle \varphi }$ (то есть ${\displaystyle x=r\cos \varphi }$, ${\displaystyle y=r\sin \varphi }$), то всякое комплексное число ${\displaystyle z}$, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме^[16]:

${\displaystyle z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}$

Как уже сказано выше, для нуля аргумент ${\displaystyle \varphi }$ не определён; для ненулевого числа ${\displaystyle \varphi }$ определяется с точностью до целого кратного ${\displaystyle 2\pi .}$

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера^[21]:

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$

где ${\displaystyle e}$ — число Эйлера, ${\displaystyle \cos }$, ${\displaystyle \sin }$ — косинус и синус, ${\displaystyle e^{i\varphi }}$ — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа^[21]:

${\displaystyle z=re^{i\varphi }.}$

Следствия

(1) Модуль выражения ${\displaystyle e^{i\varphi },}$ где число ${\displaystyle \varphi }$ вещественно, равен 1.

(2) ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}};\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}}$ — при существенно комплексном аргументе ${\displaystyle \varphi }$ эти равенства могут служить определением (комплексного) косинуса и синуса.

(3)^[22] ${\displaystyle {\bar {z}}=re^{-i\varphi };\quad \ r={\sqrt {z{\bar {z}}}};\quad \ e^{i\varphi }={\sqrt {\frac {z}{\bar {z}}}}.}$

Пример^[23]. Представим в тригонометрической и показательной форме число ${\displaystyle z=-1-{\sqrt {3}}i\colon }$

${\displaystyle |z|={\sqrt {(-1)^{2}+(-{\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {1+3}}=2;}$

${\displaystyle \varphi =-\pi +\operatorname {arctg} {\Bigl (}{\frac {-{\sqrt {3}}}{-1}}{\Bigr )}=-\pi +\operatorname {arctg} ({\sqrt {3}})=-{\frac {2\pi }{3}}}$ (поскольку ${\displaystyle z}$ находится в III координатной четверти).

Отсюда:

${\displaystyle z=2\left(\cos {\frac {-2\pi }{3}}+i\sin {\frac {-2\pi }{3}}\right)=2e^{i{\frac {-2\pi }{3}}}.}$

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид^[12]:

${\displaystyle z^{n}=\left[r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\right]^{n}=r^{n}\left(\cos n\varphi +i\sin n\varphi \right),}$

где ${\displaystyle r}$ — модуль, а ${\displaystyle \varphi }$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом ${\displaystyle n}$, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней ${\displaystyle n}$-й степени из ненулевого комплексного числа^[21]:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}z^{1/n}&=\left[r\left(\cos \left(\varphi +2\pi k\right)+i\sin \left(\varphi +2\pi k\right)\right)\right]^{1/n}=\\&={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\\\end{alignedat}}}$

где k принимает все целые значения от ${\displaystyle k=0}$ до ${\displaystyle k=n-1}$. Это значит, что корни ${\displaystyle n}$-й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального ${\displaystyle n,}$ и их количество равно ${\displaystyle n}$. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного ${\displaystyle n}$-угольника, вписанного в окружность радиуса ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$ с центром в начале координат (см. рисунок).

Если в формуле Муавра в качестве аргумента ${\displaystyle \varphi }$ выбрано его главное значение, то значение корня при ${\displaystyle k=0}$ называется главным значением корня^[24]. Например, главное значение корня числа ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+11i}}}$ равно ${\displaystyle 2+i.}$

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для ${\displaystyle n=2.}$ Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При ${\displaystyle b\neq 0}$ корнями из числа ${\displaystyle a+bi}$ является пара чисел: ${\displaystyle \pm (c+di),}$ где^[25]:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},}$

${\displaystyle d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}.}$

Здесь ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением ${\displaystyle c+di}$ в квадрат. Число ${\displaystyle c+di}$ является главным значением квадратного корня.

Пример: для квадратного корня из ${\displaystyle 3+4i}$ формулы дают два значения: ${\displaystyle 2+i;\;-2-i.}$

Зарождение понятия комплексного числа исторически было связано с желанием «легализовать» квадратные корни из отрицательных чисел. Как постепенно выяснилось, комплексные числа обладают богатыми алгебраическими и аналитическими свойствами; в частности, извлечение корней из них всегда возможно, хотя и неоднозначно.

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: ${\displaystyle 5+{\sqrt {-15}}}$ и ${\displaystyle 5-{\sqrt {-15}}.}$ В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»^[26].

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение ${\displaystyle x^{3}=15x+4}$ имеет вещественный корень ${\displaystyle x=4,}$ однако по формулам Кардано получаем: ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}.}$ Бомбелли обнаружил, что ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\pm 11i}}=2\pm i,}$ так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел^[26][27].

Выражения, представимые в виде ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}},}$ появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где ${\displaystyle b\neq 0,}$ стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты^[26].

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени ${\displaystyle n}$ из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)^[28].

Символ ${\displaystyle i}$ для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)^[29]. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)^[27]. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)^[30].

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс^[31]. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного^[2][32].

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения^[2].

В 1893 году Чарлз Штейнмец предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей переменного тока (см. ниже).

Комплексная функция одной переменной — это функция ${\displaystyle w=f(z)}$, которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам ${\displaystyle z}$ этой области комплексные значения ${\displaystyle w}$^[33]. Примеры:

${\displaystyle w=z^{2}+z+1;\quad w=z+{\frac {1}{z}}.}$

Каждая комплексная функция ${\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}$ может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: ${\displaystyle f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y),}$ определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ называются компонентами комплексной функции ${\displaystyle f(z).}$ Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных^[33].

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль ${\displaystyle |w|=|f(z)|,}$ то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции^[34].

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала^[33], например:

${\displaystyle \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.}$

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль^[33].

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными^[35].

• Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки ${\displaystyle z}$ комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути^[36].

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

• ${\displaystyle w=z+c}$ — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки ${\displaystyle c.}$
• ${\displaystyle w=uz,}$ где ${\displaystyle u}$ — комплексное число с единичным модулем, — это поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу ${\displaystyle u;}$
• ${\displaystyle w={\bar {z}}}$ — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции ${\displaystyle w=uz+c}$ и ${\displaystyle w=u{\bar {z}}+c}$ дают общее выражение для движения на комплексной плоскости^[37].

Другие линейные преобразования^[37]:

• ${\displaystyle w=rz}$, где ${\displaystyle r}$ — положительное вещественное число, задаёт растяжение с коэффициентом ${\displaystyle r}$, если ${\displaystyle r>1,}$ или сжатие в ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}$ раз, если ${\displaystyle r<1;}$
• преобразования ${\displaystyle w=az+b}$ и ${\displaystyle w=a{\bar {z}}+b,}$ где ${\displaystyle a,b}$ — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия;
• преобразование ${\displaystyle w=az+b{\bar {z}}+c,}$ где ${\displaystyle |a|\neq |b|,}$ — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости (при ${\displaystyle |a|=|b|}$ преобразование не будет аффинным, так как оно будет вырождать плоскость в прямую).

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования^[38]:

${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

При этом ${\displaystyle ad\neq bc}$ (иначе функция ${\displaystyle w(z)}$ вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые обобщённые окружности^[39][40], в число которых входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот^[38].

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия ${\displaystyle w=1/{\bar {z}},}$ функция Жуковского. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например^[41]:

• Три (различные) точки ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\displaystyle {\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}}$ является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение ${\displaystyle {\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}}$ является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},}$ то четвёртая определяется равенством^[42]: ${\displaystyle z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.}$

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид^[43]:

${\displaystyle z=ut+v,}$ где ${\displaystyle u,v}$ — комплексные числа, ${\displaystyle u\neq 0,t}$ — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми ${\displaystyle z=ut+v}$ и ${\displaystyle z=u't+v'}$ равен ${\displaystyle \operatorname {arg} (u'/u).}$ В частности, прямые перпендикулярны, только когда ${\displaystyle u'/u}$ — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle u'/u}$ есть вещественное число; если при этом ${\displaystyle (v'-v)/u}$ также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая ${\displaystyle z=ut+v}$ рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение ${\displaystyle t=\operatorname {Im} {\frac {z-v}{u}}}$ положительно, на другой — отрицательно^[43].

Уравнение окружности с центром ${\displaystyle c}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ имеет чрезвычайно простой вид: ${\displaystyle |z-c|=r.}$ Неравенство ${\displaystyle |z-c|<r}$ описывает внутренность окружности (открытый круг)^[43]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности^[44]: ${\displaystyle z=c+e^{i\varphi }.}$

Множество комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Основное алгебраическое свойство ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что ${\displaystyle \mathbb {C} }$ есть алгебраическое замыкание^[45] поля ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность ${\displaystyle \mathbb {C} }$ как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — поле комплексных чисел и тело кватернионов^[46].

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Поле ${\displaystyle \mathbb {C} }$ допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте^[47].

Поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — единственные связные локально компактные топологические поля^[48].

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение^[49][50].

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида ${\displaystyle a+bi,}$ где ${\displaystyle a,b}$ — целые числа^[51]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана^[52].

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }$

Этот ряд сходится только в интервале ${\displaystyle (-1;\;1)}$, хотя точки ${\displaystyle \pm 1}$ не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}},}$ у которой обнаруживаются две особые точки: полюса ${\displaystyle \pm i.}$ Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в круге единичного радиуса^[53].

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент^[54]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений^[55]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам^[56]..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа^[57].

О представлении комплексных чисел в информатике и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье Комплексный тип данных.

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)^[58]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии^[59][60] и гидродинамике^[61].

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции. Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты ${\displaystyle {\hat {x}}}$ и импульса ${\displaystyle {\hat {p}}_{x}}$ представляет собой мнимое число:

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {p}}_{x}{\hat {x}}=i\hbar \,.}$

Здесь ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка ${\displaystyle h}$, то есть ${\displaystyle h/2\pi }$ (постоянная Дирака)^[62].

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения^[62]. Ю. Вигнер уточнял, что «…использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики»^[63].

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или комплексного сопротивления, для реактивных элементов электрической цепи, таких как ёмкость и индуктивность, — это помогает рассчитать токи в цепи^[64]. Ввиду того, что традиционно символ ${\displaystyle i}$ в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой ${\displaystyle j\,}$^[65]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из (t, x)- в (ω, k)-пространство (где t — время, x — координата, ω — угловая частота, k — волновой вектор) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных^[66].

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$, если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. А именно, определим ${\displaystyle \mathbb {C} }$ как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна −1, — мнимую единицу. Говоря более строго, аксиомы комплексных чисел следующие^[67][68].

С1: Для всяких комплексных чисел ${\displaystyle u,v}$ определена их сумма ${\displaystyle u+v.}$

С2: Сложение коммутативно: ${\displaystyle u+v=v+u.}$ Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких ${\displaystyle u,v,w}$».

С3: Сложение ассоциативно: ${\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w).}$

С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что ${\displaystyle u+0=u.}$

С5: Для всякого комплексного числа ${\displaystyle u}$ существует противоположный ему элемент ${\displaystyle -u}$ такой, что ${\displaystyle u+(-u)=0.}$

С6: Для всяких комплексных чисел ${\displaystyle u,v}$ определено их произведение ${\displaystyle uv.}$

С7: Умножение коммутативно: ${\displaystyle uv=vu.}$

С8: Умножение ассоциативно: ${\displaystyle (uv)w=u(vw).}$

С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: ${\displaystyle (u+v)w=uw+vw.}$

С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что ${\displaystyle u\cdot 1=u.}$

С11: Для всякого ненулевого числа ${\displaystyle u}$ существует обратное ему число ${\displaystyle u'}$ такое, что ${\displaystyle u\cdot u'=1.}$

С12: Множество комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

С13: Существует элемент ${\displaystyle i}$ (мнимая единица) такой, что ${\displaystyle i^{2}+1=0.}$

С14 (аксиома минимальности): Пусть ${\displaystyle M}$ — подмножество ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ которое: содержит ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда ${\displaystyle M}$ совпадает со всем ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что ${\displaystyle \mathbb {C} }$ образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны^[69].

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств^[70].

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел^[71].

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара ${\displaystyle (a,b)}$ будет соответствовать комплексному числу ${\displaystyle a+bi.}$^[72]

Далее определим^[71]:

1. пары ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (c,d)}$ считаются равными, если ${\displaystyle a=c}$ и ${\displaystyle b=d;}$
2. сложение: сумма пар ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (c,d)}$ определяется как пара ${\displaystyle (a+c,b+d);}$
3. умножение: произведение пар ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (c,d)}$ определяется как пара ${\displaystyle (ac-bd,ad+bc).}$

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения ${\displaystyle i^{2}=-1\colon }$

${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc).}$

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами ${\displaystyle (a,0)}$, образующими подполе ${\displaystyle \mathbb {R} }$, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары ${\displaystyle (0,0)}$ и ${\displaystyle (1,0)}$ соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара ${\displaystyle (0,1),}$ Квадрат её равен ${\displaystyle \left(-1,\;0\right),}$ то есть ${\displaystyle -1.}$ Любое комплексное число можно записать в виде ${\displaystyle (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.}$

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой^[71].

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}}$

с обычным матричным сложением и умножением^[2]. Вещественной единице будет соответствовать

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

мнимой единице —

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$.

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число ${\displaystyle x+iy}$ является линейным оператором. В базисе ${\displaystyle e_{1}=1,e_{2}=i}$ линейный оператор умножения на ${\displaystyle x+iy}$ представляется указанной выше матрицей, так как^[2]:

${\displaystyle (x+iy)\cdot 1=x\cdot 1+y\cdot i;}$

${\displaystyle (x+iy)\cdot i=(-y)\cdot 1+x\cdot i.}$

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа. А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения относительно точки и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число^[73].