Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.
Расчёт полной производной функции
по времени t,
(в отличие от частной производной,
) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.
Оператор \ Функция | | |
Дифференциал | 1: | 2: 3: |
Частная производная | | |
Полная производная | | |
Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t_{0},x(t_{0}),y(t_{0}))=\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} t}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|_{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45eaca4a9901a7ccefc4c8b4954df6af3ee6be4)
что упрощается до
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t,x(t),y(t))={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c40188aed353f4a742663004eea9681ab1f4d3)
где
— частные производные.
Следует отметить, что обозначение
является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.
Например, полная производная функции
:
![{\displaystyle {df \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over \ dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a0efb24963f66e3dfef017d71105c9059b97f8)
Здесь нет
так как
сама по себе («явно») не зависит от
.