Теоремы об изоморфизме

Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия никому особо не приписывается, считается, что наиболее общие формулировки дала Эмми Нётер.

Пусть ${\displaystyle \varphi \colon \ G\to H}$ — гомоморфизм групп, тогда:

1. Ядро ${\displaystyle \varphi }$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$;
2. Образ ${\displaystyle \varphi }$ — подгруппа в ${\displaystyle H}$;
3. Образ ${\displaystyle \varphi }$ изоморфен факторгруппе ${\displaystyle G/\ker \varphi }$.

В частности, если гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ сюръективен (то есть является эпиморфизмом), то группа ${\displaystyle H}$ изоморфна факторгруппе ${\displaystyle G/\ker \varphi }$.

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, ${\displaystyle S}$ — подгруппа в ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle N}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$, тогда:

1. Произведение ${\displaystyle SN}$ — подгруппа в ${\displaystyle G}$;
2. Пересечение ${\displaystyle S\cap N}$— нормальная подгруппа в ${\displaystyle S}$;
3. Факторгруппы ${\displaystyle (SN)/N}$ и ${\displaystyle S/S\cap N}$ изоморфны.

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle K}$ — нормальные подгруппы в ${\displaystyle G}$ такие, что ${\displaystyle K\subseteq N}$, тогда:

1. ${\displaystyle N/K}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G/K}$;
2. Факторгруппа факторгрупп (${\displaystyle G/K}$) / (${\displaystyle N/K}$) изоморфна факторгруппе ${\displaystyle G/N}$.

В данной области понятие нормальной подгруппы заменяется на понятие идеала кольца.

Пусть ${\displaystyle \varphi \colon \ R\to S}$ гомоморфизм колец, тогда:

1. Ядро ${\displaystyle \varphi }$ — идеал в ${\displaystyle R}$;
2. Образ ${\displaystyle \varphi }$ — подкольцо в ${\displaystyle S}$;
3. Образ ${\displaystyle \varphi }$ изоморфен факторкольцу ${\displaystyle R/\ker \varphi }$.

В частности, если гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ сюръективен (то есть является эпиморфизмом), то кольцо ${\displaystyle S}$ изоморфно факторкольцу ${\displaystyle R/\ker \varphi }$.

Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо, ${\displaystyle S}$ — подкольцо в ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle I}$ — идеал в ${\displaystyle R}$, тогда:

1. Сумма ${\displaystyle S+I}$ — подкольцо в ${\displaystyle R}$;
2. Пересечение ${\displaystyle S\cap I}$ — идеал в ${\displaystyle S}$;
3. Факторкольца ${\displaystyle (S+I)/I}$ и ${\displaystyle S/(S\cap I)}$ изоморфны.

Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — идеалы в ${\displaystyle R}$ такие, что ${\displaystyle B\subseteq A}$, тогда:

1. ${\displaystyle A/B}$ — идеал в ${\displaystyle R/B}$;
2. Факторкольцо факторколец ${\displaystyle (R/B)/(A/B)}$ изоморфно факторкольцу ${\displaystyle R/A}$.

Теоремы об изоморфизме абелевых групп и линейных пространств являются частным случаем теорем для модулей, которые и будут сформулированы. Для линейных пространств дополнительную информацию можно найти в статье «ядро линейного отображения».

Пусть ${\displaystyle \varphi \colon \ M\to N}$ — гомоморфизм модулей, тогда:

1. Ядро ${\displaystyle \varphi }$ — подмодуль в ${\displaystyle M}$;
2. Образ ${\displaystyle \varphi }$ — подмодуль в ${\displaystyle N}$;
3. Образ ${\displaystyle \varphi }$ изоморфен фактормодулю ${\displaystyle M/\ker \varphi }$.

Пусть ${\displaystyle M}$ — модуль, ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ — подмодули в ${\displaystyle M}$, тогда:

1. Сумма ${\displaystyle S+T}$ — подмодуль в ${\displaystyle M}$;
2. Пересечение ${\displaystyle S\cap T}$ — подмодуль в ${\displaystyle M}$;
3. Фактормодуль ${\displaystyle (S+T)/T}$ изоморфен фактормодулю ${\displaystyle S/(S\cap T)}$.

Пусть ${\displaystyle M}$ — модуль, ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ — подмодули в ${\displaystyle M}$ такие, что ${\displaystyle T\subseteq S}$, тогда:

1. ${\displaystyle S/T}$ — подмодуль в ${\displaystyle M/T}$;
2. Фактормножество фактормодулей ${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$ изоморфно фактормодулю ${\displaystyle M/S}$.

• Универсальная алгебра