Унитарный оператор

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор ${\displaystyle U\colon H\to H}$ на гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$, который удовлетворяет соотношению:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$,

где ${\displaystyle U^{*}}$ — эрмитово сопряжённый к ${\displaystyle U}$ оператор, и ${\displaystyle I\colon H\to H}$ — единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

• ${\displaystyle U}$ сохраняет скалярное произведение ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ гильбертового пространства, то есть для всех векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle }$ и
• ${\displaystyle U}$ — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы, более слабому условию:

• ${\displaystyle U}$ сохраняет скалярное произведение и
• образ ${\displaystyle U}$ — плотное множество.

(${\displaystyle U}$ изометричен, а поэтому является ограниченным линейным оператором — это следует из того, что ${\displaystyle U}$ сохраняет скалярное произведение; образ ${\displaystyle U}$ — плотное множество, таким образом ${\displaystyle U^{-1}}$ = ${\displaystyle U^{*}}$.)

Унитарный элемент — обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент ${\displaystyle U}$ алгебры называется унитарным элементом, если:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$,

где ${\displaystyle I}$ — единичный элемент^[1].

Свойства унитарных преобразований:

• оператор унитарного преобразования всегда обратим
• если оператор ${\displaystyle {\hat {H}}}$ эрмитов, то оператор ${\displaystyle {\hat {U}}=\exp(i{\hat {H}})}$ унитарен.

Спектр унитарного оператора ${\displaystyle U}$ лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, ${\displaystyle U}$ унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle L^{2}(\mu )}$, для некоторого пространства с мерой ${\displaystyle (X,\mu )}$. Из ${\displaystyle UU^{*}=I}$ следует ${\displaystyle |f(x)|^{2}=1}$.

Тождественный оператор — тривиальный пример унитарного оператора. Вращения в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ — простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. В векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел умножение на число с модулем ${\displaystyle 1}$, то есть число вида ${\displaystyle e^{i\theta }}$ для ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$, является унитарным оператором. ${\displaystyle \theta }$ называется фазой. Можно заметить, что значение ${\displaystyle \theta }$, кратное ${\displaystyle 2\pi }$, не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ топологически эквивалентно окружности.

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени, и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы в квантовой механике запрещены.

• Унитарный оператор // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 242. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).