Эллиптическая система координат Эллиптические координаты — двумерная ортогональная система координат , в которой координатными линиями являются конфокальные эллипсы и гиперболы . За два фокуса F 1 {\displaystyle F_{1}} и F 2 {\displaystyle F_{2}} обычно берутся точки − c {\displaystyle -c} и + c {\displaystyle +c} на оси X {\displaystyle X} декартовой системы координат .
Эллиптические координаты ( μ , ν ) {\displaystyle (\mu ,\;\nu )} обычно определяются по правилу:
{ x = c c h μ cos ν y = c s h μ sin ν {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=c\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu \\y=c\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \nu \end{matrix}}\right.} где μ ⩾ 0 {\displaystyle \mu \geqslant 0} , ν ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \nu \in [0,\;2\pi )} .
Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество
x 2 c 2 c h 2 μ + y 2 c 2 s h 2 μ = cos 2 ν + sin 2 ν = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1} показывает, что линии уровня μ {\displaystyle \mu } являются эллипсами , а тождество из гиперболической геометрии
x 2 c 2 cos 2 ν − y 2 c 2 sin 2 ν = c h 2 μ − s h 2 μ = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{c^{2}\sin ^{2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1} показывает, что линии уровня ν {\displaystyle \nu } являются гиперболами .
Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат ( μ , ν ) {\displaystyle (\mu ,\;\nu )} равны
H μ = H ν = c ( c h μ sin ν ) 2 + ( s h μ cos ν ) 2 = c s h 2 μ + sin 2 ν . {\displaystyle H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {(\mathrm {ch} \,\mu \,\sin \,\nu )^{2}+(\mathrm {sh} \,\mu \,\cos \,\nu )^{2}}}=c{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.} Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду
H μ = H ν = c 1 2 ( c h 2 μ − cos 2 ν ) . {\displaystyle H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}).} Элемент площади равен:
d S = c 2 ( s h 2 μ + sin 2 ν ) d μ d ν , {\displaystyle dS=c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,} а лапласиан равен
∇ 2 Φ = 1 c 2 ( s h 2 μ + sin 2 ν ) ( ∂ 2 Φ ∂ μ 2 + ∂ 2 Φ ∂ ν 2 ) . {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).} Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат. Например, градиент скалярного поля Φ ( μ , ν ) {\displaystyle \Phi (\mu ,\;\nu )} записывается:
g r a d Φ = 1 H μ ∂ Φ ∂ μ e μ + 1 H ν ∂ Φ ∂ ν e ν , {\displaystyle \mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {1}{H_{\mu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\mathbf {e} _{\mu }+{\frac {1}{H_{\nu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\mathbf {e} _{\nu },} где
e μ = c ( s h μ cos ν , c h μ sin ν ) {\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }=c(\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu ,\,\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu )} , e ν = c ( − c h μ sin ν , s h μ cos ν ) {\displaystyle \mathbf {e} _{\nu }=c(-\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu ,\,\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu )} . это не орты как же я из-за вас ошибся пишите будто это орт Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\;\tau )} :
{ σ = c h μ τ = cos ν {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma =\mathrm {ch} \,\mu \\\tau =\cos \nu \end{matrix}}\right.} Таким образом, линии уровня σ {\displaystyle \sigma } являются эллипсами, а линии уровня τ {\displaystyle \tau } являются гиперболами. При этом
τ ∈ [ − 1 , 1 ] , σ ⩾ 1. {\displaystyle \tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.} Координаты ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\;\tau )} имеют простую связь с расстояниями до фокусов F 1 {\displaystyle F_{1}} и F 2 {\displaystyle F_{2}} . Для любой точки на плоскости
{ d 1 + d 2 = 2 c σ d 1 − d 2 = 2 c τ {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}d_{1}+d_{2}=2c\sigma \\d_{1}-d_{2}=2c\tau \end{matrix}}\right.} где d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1},\;d_{2}} — расстояния до фокусов F 1 , F 2 {\displaystyle F_{1},\;F_{2}} соответственно.
Таким образом:
{ d 1 = c ( σ + τ ) d 2 = c ( σ − τ ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}d_{1}=c(\sigma +\tau )\\d_{2}=c(\sigma -\tau )\end{matrix}}\right.} Напомним, что F 1 {\displaystyle F_{1}} и F 2 {\displaystyle F_{2}} находятся в точках x = − c {\displaystyle x=-c} и x = + c {\displaystyle x=+c} соответственно.
Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:
{ x = c σ τ y 2 = c 2 ( σ 2 − 1 ) ( 1 − τ 2 ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=c\sigma \tau \\y^{2}=c^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})\end{matrix}}\right.} Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\;\tau )} равны:
h σ = c σ 2 − τ 2 σ 2 − 1 ; {\displaystyle h_{\sigma }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}};} h τ = c σ 2 − τ 2 1 − τ 2 . {\displaystyle h_{\tau }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.} Элемент площади равен
d A = c 2 σ 2 − τ 2 ( σ 2 − 1 ) ( 1 − τ 2 ) d σ d τ , {\displaystyle dA=c^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}}\,d\sigma \,d\tau ,} а лапласиан равен
∇ 2 Φ = 1 c 2 ( σ 2 − τ 2 ) [ σ 2 − 1 ∂ ∂ σ ( σ 2 − 1 ∂ Φ ∂ σ ) + 1 − τ 2 ∂ ∂ τ ( 1 − τ 2 ∂ Φ ∂ τ ) ] . {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].} Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М. : Наука, 1974. — 832 с. Название координат Типы систем координат Двумерные координаты Трёхмерные координаты n {\displaystyle n} -мерные координатыФизические координаты Связанные определения