Эндоморфизм

Эндоморфизм — морфизм объекта категории в себя, в контексте универсальной алгебры — гомоморфизм, отображающий алгебраическую систему в себя.

В любой категории композиция двух эндоморфизмов ${\displaystyle X}$ также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что все эндоморфизмы для объекта ${\displaystyle X}$ образуют моноид, который обозначается ${\displaystyle \operatorname {End} (X)}$ (или ${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)}$, чтобы подчеркнуть категорию ${\displaystyle C}$).

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма) называется автоморфизмом. Множество автоморфизмов является подмножеством ${\displaystyle \operatorname {End} (X)}$ с естественной структурой группы, оно обозначается ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$.

Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу ${\displaystyle (f+g)(a)=f(a)+g(a)}$. С определённым таким образом сложением эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов^[англ.]. Например, эндоморфизмы свободной абелевой группы ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ — это кольцо всех ${\displaystyle n\times n}$ матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории. Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо, а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почтикольцо.

• Nathan Jacobson. Basic algebra (неопр.). — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 1. — ISBN 978-0-486-47189-1.
• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.