Bézier eğrisi

Bézier eğrisi, özellikle bilgisayar grafikleri ve ilgili alanlarda sıklıkla kullanılan parametrik eğri biçimidir. Eğri, seçilen kontrol noktaları esas alınarak oluşturulur.^[1] İlk ve son noktalar eğri ile kesişirken, seçilen diğer noktalar genellikle eğrinin üzerinde yer almaz (interpolasyon eğrisi).

Günümüzde modelleme uygulamalarından, yazı tipi oluşturma tekniklerine kadar sayısız alanda kullanılmaktadır.^[2]

Fikrin temelleri, ilk olarak, 1959 yılında, Paul de Faget de Casteljau (en) isminde, Citroën'de çalışan bir Fransız otomotiv mühendisi tarafından atılmıştır. Aynı yıllarda, Renault'da silindir parçalarının kesişimi üzerinde incelemeler yapan bir başka Fransız otomotiv mühendisi Pierre Bézier (en) de benzer bir yaklaşımla araştırmalarını sürdürmüştür.^[3]

İki çalışan da birbirlerinden ayrı olarak aynı sonuçları elde etmesine karşın, konu hakkında yayınlanan ilk makale Bézier tarafından yazıldığından, günümüzde bu eğri, Bézier eğrisi olarak bilinmektedir.

Bézier eğrisi, kontrol noktaları ve onları inşa edecek bir temel fonksiyon ile tanımlanır.^[4] Seçilen ilk ve son kontrol noktası, eğrinin başı ve sonunu oluşturur. Aradaki diğer noktalar ise eğrinin yapısını belirlemek için kullanılır. Bu bağlamda bu noktalar, genellikle eğrinin üzerinde yer almaz.

Bézier eğrisi, matematiksel olarak, genellikle Bernstein polinomu (en) baz alınarak ifade edilir. Buna göre, ${\displaystyle n}$'inci dereceden temel fonksiyon, kontrol noktalari ${\displaystyle i}$ ile parametrize edilmek üzere, aşağıdaki şekilde gösterilir.

${\displaystyle B_{i,n}(u)={\binom {n}{i}}u^{i}(1-u)^{n-i}}$

Eğri, cebirsel olarak, ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle i}$'nci kontrol noktası ve ${\displaystyle B{i,n}}$ ilgili temel fonksiyon olmak üzere, şu şekilde formulize edilir.

${\displaystyle C(u)=\sum _{i=0}^{n}P_{i}B_{i,n}(u)}$

Genel formülün türevi alınmasıyla aşağıdaki eşitlik elde edilir.

${\displaystyle C'(u)=n\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(P_{i+1}-P_{i})\cdot B_{i,n-1}(u)}$

İki nokta ile belirtilen lineer Bézier eğrileri, eğim faktörü içermediğinden, başı ve sonu ilk ve son nokta ile belirtilen bir doğru parçası oluştururlar.

${\displaystyle C(u)=P_{0}(1-u)+P_{1}u}$

Üç nokta ile belirtilen karesel Bézier eğrileri, ikinci dereceden denklem meydana getirdiklerinden parabolik bir şekil oluştururlar.

${\displaystyle C(u)=P_{0}(1-u)^{2}+2P_{1}u(1-u)+P_{2}u^{2}}$

Kübik Bézier eğrileri, dört nokta ile belirtilir. Basit yapılarına karşın, büküm (en) özelliğine sahip olmaları dolayısıyla uygulamalarda en yaygın kullanılan Bézier eğrileridir.

${\displaystyle C(u)=P_{0}(1-u)^{3}+3P_{1}u(1-u)^{2}+3P_{2}u^{2}(1-u)+P_{3}u^{3}}$

• Matematiksel şekillerin listesi
• Bézier yüzeyi (en)
• İnterpolasyon
• NURBS (en)
• Spline fonksiyonu

• Eric W. Weisstein, Bézier Curve (MathWorld)