Binom açılımı

Matematikte binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin cebirsel açılımıdır. Teoreme göre, (x + y)ⁿ formatında yazılmış bir polinom, b,c ${\displaystyle \geq }$ 0, b +c = n, ax^by^c formatındaki terimlerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu ifadede b,c,n ${\displaystyle \in }$ N, b${\displaystyle \geq }$ 0, c${\displaystyle \geq }$ 0, b+c=n, a> 0 koşulları sağlanmalıdır.

a katsayısı binom katsayısı olarak da bilinir. Verilen n ve b değerlerine göre değişiklik gösteren bu katsayı Pascal üçgeninden elde edilebilir. Bu katsayı aynı zamanda kombinasyonla ${\displaystyle {\binom {n}{b}}}$ veya ${\displaystyle {\binom {n}{c}}}$ şeklinde ifade edildiğinde ise n sayılı bir kümeden seçilen b elemanın kombinasyonunun sayısını gösterir.

Binom teoreminin bazı özel formları MÖ 4. yüzyılda Yunan matematikçi Öklid'in üs 2 iken binom teoreminden bahsettiğinden beri bilinmektedir. Hindistanda ise kübik üsler için binom teoreminin bilindiğine dair bazı kanıtlar bulunmaktadır.^[1][2]

Hint matematikçiler aynı zamanda binom katsayısını kombinasyonla ifade etmeye de çalışmışlardır. Bu yaklaşımdan ilk kez Hint fizikçi Pingala'nın Chandaḥśāstra adlı eserinde görülmüş ve çözümü için metot gösterilmiştir.^[3] Halayudha 10. yüzyılda bunu bugün Pascal üçgeni olarak bilinen yöntemi kullanarak açıklar. Hint matematikçilerin 6. yüzyıldan itibaren bunu bir katsayı olarak ifade ettikleri tahmin edilmektedir ve bunun ${\displaystyle \left({\frac {n!}{(n-k)!k!}}\right)}$ şeklinde yazıldığına 12. yüzyılda Bhāskara'nın yazdığı Lilavati'de rastlanır.^[4]

n bir doğal sayı iken,

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}}$ ${\displaystyle (sigma)}$

Burada ${\displaystyle {n \choose k}}$, ${\displaystyle n}$ 'nin ${\displaystyle k}$ 'li kombinasyonudur.

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

Kombinasyon tanımı gerçel ve karmaşık sayıları kapsayacak şekilde genelleştirildiği takdirde;

${\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}}$

${\displaystyle n}$'in bir doğal sayı olma şartı ortadan kalkar.

• Pascal üçgeni
• Binom dağılımı
• Kombinasyon
• Taylor serisi